Über eine Klasse von Abelschen Gleichungen (Q1565327)

Der Satz des Verf., daß die Wurzeln jeder Abelschen Gleichung, ,,deren Wurzeln für eine ganze rationale Funktion zyklisch autotransformabel sind'', d. h. die über dem natürlichen Rationalitätsbereich zyklisch ist, auf einem Kreise liegen, ist falsch, wie folgendes Gegenbeispiel zeigt: \(\varepsilon\) sei eine primitive siebente Einheitswurzel; dann sind die Zahlen \[ \begin{matrix} z_1 = \varepsilon + \varepsilon^2,\quad & z_2 = \varepsilon^3 + \varepsilon^6,\quad & z_3 = \varepsilon^2 + \varepsilon^4, \\ z_4 = \varepsilon^6 + \varepsilon^5,\quad & z_5 = \varepsilon^4 + \varepsilon,\quad & z_6 = \varepsilon^5 + \varepsilon^3,\end{matrix} \] die Wurzeln einer zyklischen Gleichung sechsten Grades und liegen, wie man leicht zeigt, nicht auf einem Kreise. In Wahrheit benutzt Verf. bei seinem Beweise von Anfang an die schärfere Voraussetzung, daß die Wurzeln seiner Gleichung aus einer beliebigen von ihnen durch eine lineare Substitution und ihre Iterierten hervorgehen. Unter dieser Voraussetzung ist sein Satz, der noch genauere Angaben über die Lagerung der Wurzeln macht, richtig. Der Rest der Arbeit untersucht die geometrischen Lageverhältnisse der Wurzeln solcher spezieller Gleichungen fünften und sechsten Grades, bei denen die Invarianten und Kovarianten der linken Seite besonderen Bedingungen genügen.