Zur Arithmetik der Polynome (Q1565328)

Beweis der folgenden Sätze: I. \(f(x) = x^n + \ldots\) sei ein ganzzahliges Polynom ohne mehrfache Nullstellen \((n > 1)\). Für eine Menge von Primzahlmoduln von einer Dichte \(>\frac12\) möge \(f(x)\) vollständig in Linearfaktoren zerfallen. Dann zerfällt \(f(x)\) im Bereich der rationalen Zahlen ebenfalls vollständig. II. Spaltet \(f(x)\) für fast alle Primzahlmoduln mindestens \(m\) Linearfaktoren ab, so besitzt \(f(x)\) mindestens \(m\) ganzzahlige Linearfaktoren. Die Sätze folgen aus der Kronecker-Frobeniusschen Theorie.