Eine Bemerkung über ganze Funktionen (Q1565460)

Ist \(G(x)=\sum_{\nu=1}^\infty A_\nu x^\nu\) eine ganze Funktion, \(\alpha\) eine positive Zahl und \(G(x)=O(x^\alpha)\) für \(x\to +\infty\), so ist die ganze Funktion \(\overline G(x)=\sum_1^\infty \frac 1n G(\frac xn)\) für \(x\to +\infty\) beschränkt. Es wird nun bewiesen, daß in gewissen Fällen \(\overline G(x)=o(1)\) oder sogar \(O(x^{-\alpha})\) für \(x\to +\infty\) sein kann. Der Beweis stützt sich auf folgenden Satz. Die ganze Funktion \(g(x)=\sum_0^\infty a_\nu x^\nu\) habe die Eigenschaft \(\lim_{n\to +\infty} \root{n}\of{| a_n|}=0\), und es sei ferner \(g(x)\to 0\) für \(x\to +\infty\). Dann konvergiert die Reihe \(\sum_1^\infty (-1)^{n-1} g(nx)\) für \(x>0\) und stellt eine ganze Funktion von \(x\) dar. Dieser Satz wird durch Grenzübergang \(y\to 0\) aus \[ \sum_1^\infty (-1)^{n-1} g(nx) e^{-ny}=\sum_{\nu=0}^\infty a_\nu x^\nu \sum_{\mu=0}^\infty \frac {(-1)^\mu}{\mu!}(1-2^{\mu+\nu+1}) \zeta(-\mu-\nu)y^\mu \] gewonnen.