An example to the question of the shape of the closed geodesic in a Clifford-Klein surface (Q1565465)

Gegeben sind in dem Kleinschen Modell der hyperbolischen Ebene 3 Geraden \(g_1^0\), \(g_2^0\), \(g_3^0\), die den Fundamentalkegelschnitt in paarweise sich nicht trennenden Punkten \(U_1^i, U_2^i\) \((i= 1,2,3)\) treffen, etwa in der Reihenfolge \(U_1^1, U_2^1, U_1^3, U_2^3, U_1^2, U_2^2, U_1^1\), und die gemeinsamen Lote \(l_1^0, l_2^0, l_3^0\) bzw. der Geraden \(g_2^0\) und \(g_2^0\); \(g_3^0\) und \(g_1^0\); \(g_1^0\) und \(g_2^0\). Sind \(\bar{l}_2^0\) und \(\bar{l}_3^0\) die aus \(l_2^0\) und \(l_3^0\) durch Spiegelung an \(l_1^0\) hervorgegangenen Geraden, so ordne man \(l_2^0\) und \(\bar{l}_2^0\) ebenso \(l_3^0\) und \(\bar{l}_3^0\) je einander punktweise so zu, wie sie durch Spiegelung an \(l_1^0\) ineinander übergehen. Zu dem von den Geraden \(l_2^0\), \(\bar{l}_2^0\), \(l_3^0\), \(\bar{l}_3^0\) begrenzten Gebiet des Fundamentalkegelschnitts als Diskontinuitätsbereich gehört bei der angegebenen Zuordnung seiner Ränder eine Gruppe von Bewegungen in der hyperbolischen Ebene. Durch die Festsetzung, in bezug auf diese Gruppe äquivalente Punkte als identisch zu betrachten, wird abstrakt eine Fläche definiert, die sich auf die hyperbolische Ebene abwickeln läßt (hyperbolische Raumform). Dieses Gebilde besteht, wie leicht ersichtlich, aus einem sog. Doppelsechseck mit 3 geschlossenen Rändern \(g_i\) ohne gemeinsame Punkte (,,Binnenteil'') und 3 an den Rändern \(g_i\) anschließenden, zylinderartigen ,,Außenteilen''. Die geodätischen Linien dieser Fläche (Beispiel einer sog. Clifford-Kleinschen Fläche mit konstanter negativer Krümmung ohne Singularitäten und erreichbare Randpunkte) sind die Geraden der hyperbolischen Ebene. Das von den Geraden \([U_1^1\,U_2^3]\), \([U_2^1\,U_1^2]\), \([U_2^2\,U_1^3]\) begrenzte Dreiecksgebiet ist so beschaffen, daß jede in sein Inneres dringende Gerade wenigstens eine der Geraden \(g_i\) trifft. Also gibt es auf der genannten Fläche keine ganz im Binnenteil verlaufende geodätische Linie (sog. Binnengerade), die in das diesem Dreiecksgebiet auf der Fläche entsprechende Gebiet eindringt (es ist zugleich das größte Gebiet dieser Eigenschaft). Insbesondere folgt daraus, daß die Punkte auf den geschlossenen geodätischen Linien, die sämtlich ganz im Binnenteil verlaufen, diesen nicht dicht überdecken, im Gegensatz zu den Clifford-Kleinschen Flächen ohne Außenteile, bei denen sogar die Menge der Linienelemente auf den geschlossenen geodätischen Linien in der Menge aller Linienelemente auf der Fläche überall dicht liegt. Ungelöst bleibt die Aufgabe, alle von geschlossenen geodätischen Linien gemiedenen Bereiche auf der Fläche anzugeben, sowohl in dem hier konstruierten Beispiel als auch für Clifford-Kleinsche Flächen höheren Zusammenhangs.