Rings of ideals (Q1565496)

Der Bereich der vom Nullideal verschiedenen ganzen und gebrochenen Ideale eines endlichen algebraischen Zahlkörpers \(K\) wird zu einem Ring gemacht. Nachdem die von Null und Einheitsideal verschiedenen Primideale von \(K\) in eine Reihenfolge \(\mathfrak p_1, \mathfrak p_2, \mathfrak p_3,\ldots\) gebracht sind, wird jedem Ideal \(\mathfrak a\neq (0)\) die Folge \(E(\mathfrak a)=(x_n)\) der in der eindeutigen Darstellung \(\mathfrak a = \mathfrak p_1^{x_1} \mathfrak p_2^{x_2}\mathfrak p_3^{x_1}\cdots\) auftretenden ganzen rationalen Exponenten \(x_n\) zugeordnet. Das größte \(n\) mit \(x_n\neq 0\) heißt die Ordnung (order) von \(E(\mathfrak a)\). Ist \(E(\mathfrak b) = (y_n)\), so werden \(\mathfrak a [+] \mathfrak b\), \(\mathfrak a [-] \mathfrak b\) und \(\mathfrak a [\cdot] \mathfrak b\) als die zu den Folgen \((x_n + y_n)\), \((x_n-y_n)\) und \((x_n\cdot y_n)\) gehörigen Ideale erklärt. Als Addition und Subtraktion treten also die gewöhnliche Idealmultiplikation und -division auf. Gegenüber diesen Verknüpfungen bilden die Ideale einen Ring \(R\), dessen Nullelement \(0\) das Einheitsideal von \(K\) ist. Der Ring \(R\) wird angeordnet: es wird \(\mathfrak a [ > ] 0\) gesetzt, wenn \(\mathfrak a \neq 0\) ist und das erste nichtverschwindende der dem \(\mathfrak a\) zugeordneten \(x_n\) positiv ist. \(\mathfrak a [ > ] 0\) heißt insbesondere positiv, wenn unter den \(x_n\) überhaupt keine negativen vorkommen. Für die Verknüpfung \([>]\) gelten die üblichen Rechenregeln bis auf das Distributivgesetz, das nur in folgender eingeschränkter Fassung gilt: Ist \(\mathfrak a [ > ] \mathfrak b\), \(\mathfrak c\) positiv, so ist \(\mathfrak a [ \cdot ] \mathfrak c [ > ] \mathfrak b [ \cdot ] \mathfrak c\) oder \(\mathfrak a [\cdot] \mathfrak c =\mathfrak b [\cdot] \mathfrak c\). (Entgegen der Behauptung des Verf. kann das Gleichheitszeichen auch dann gelten, wenn die Ordnung von \(E(\mathfrak c)\) mit der größten der Ordnungen von \(E(\mathfrak a)\) und \(E(\mathfrak b)\) übereinstimmt: offenbar ist \(\mathfrak p_1\mathfrak p_2 [ > ] \mathfrak p_2\), \(\mathfrak p_2\) positiv, aber \(\mathfrak p_1\mathfrak p_2 [\cdot ]\mathfrak p_2 = \mathfrak p_2 [\cdot] \mathfrak p_2\).) In \(R\) besteht die eindeutige Faktorzerlegung der Elemente. Mit der Primidealzerlegung in \(K\) hat diese Zerlegung nichts zu tun. Der Bau eines Hauptideals in \(R\) ergibt sich am Schluß der Arbeit von selbst.