On the asymptotic independence of Dirichlet series (Q1567715)

Es seien \(g_1,\dots,g_r\) \((r>1)\) komplexwertige, auf \(\mathbb{R}\) definierte meßbare Funktionen, und damit werde für \(T>0\) ein Wahrscheinlichkeitsmaß \[ Q_T(A):=(2T)^{-1} \text{mes}\{t\in[-T,T]:\bigl( g_1(t), \dots, g_r(t)\bigr)\in A\}\quad \bigl(A\in\mathbb{B} (\mathbb{C}^r)\bigr) \] definiert, wo \(\text{mes} M\) das Lebesguemaß einer Lebesgue-meßbaren Menge \(M\subset \mathbb{R}\), \(B(S)\) die Klasse der Borelschen Mengen eines Raums \(S\) bedeutet [vgl. \textit{A. Laurinčikas}, Limit Theorems for the Riemann Zeta-Function, Kluwer, Dordrecht (1996; Zbl 0845.11002)]. \(g_1,\dots,g_r\) heißen asymptotisch unabhängig, falls \(Q_T\) für \(T\to\infty\) schwach gegen ein Wahrscheinlichkeitsmaß \(Q\) auf \((\mathbb{C}^r,B(\mathbb{C}^r))\) konvergiert, so daß \[ Q (A)=\prod^r_{j=1}Q_j(A_j)\text{ für } A\in B(\mathbb{C}^r),\;A_j\in B(\mathbb{C}) \] mit \[ Q_j(A_j)=Q(A_{j,1} \times\cdots\times A_{j,r}),\quad A_{j,m} =\begin{cases} \mathbb{C} \text{ für }m\neq j\\ A_j\text{ für }m=j \end{cases} \] gilt. Der Verf. beweist zu diesem Begriff den folgenden Satz. Es seien \(f_1,\dots,f_r\) \((r>1)\) auf \(\mathbb{R}\) definierte, komplexwertige und über \([-T,T]\) für beliebiges \(T>0\) integrable Funktionen. Für passende trigonometrische Polynome \(P_{j,n}(t)\) gelte \[ \lim_{n\to\infty} \limsup_{T\to\infty} (2T)^{-1} \int^T_{-T} \bigl|f_j(t)- P_{j,n}(t) \bigr|dt=0. \] Für \(u,v\in\mathbb{R}^r\), \(n\in\mathbb{N}\) läßt sich mit Hilfe der \(P_{j,n}\) \((1\leq j\leq r)\) und passender Besselfunktionen ein Term \(\Phi_n(u,v)\) definieren, so daß \(f_1,\dots,f_r\) genau dann asymptotisch unabhängig sind, wenn für jedes endliche Rechteck \(K\subset \mathbb{R}^r\) \(\lim_{n\to\infty} \Phi_n(u,v)=0\) gleichmäßig für \(u,v\in K\) gilt.