Zur Konstruktion der Eigenfunktionen Stekloffscher Eigenwertaufgaben (Q1589876)

Sei \(G\) ein Gebiet der komplexen Ebene, dessen Rand in zwei disjunkte Teile \(C_1\) und \(C_2\) zerlegt sei. Die Autoren betrachten das folgende gemischte Stekloffsche Eigenwertproblem \[ \Delta u=0\text{ in }G,\quad u=0\text{ auf }C_1,\quad (1)\;{\partial u\over\partial n}=\mu u\text{ auf }C_2, \] wobei hier angenommen wird, dass \(C_2\) ein analytischer Kurvenbogen sei. Um die Eigenfunktionen \(u_1,u_2, u_3,\dots\) zu den Eigenwerten \(0<\mu_1 \leq\mu_2\leq \mu_3 \dots\) zu bestimmen, entwickeln die Autoren eine neue Methode, die auf der Anwendung konformer Abbildungen und der Ausnutzung des Spiegelungsprinzip beruht. Hierzu wird das Ausgangsgebiet in der \(z\)-Ebene konform in eine \(s\)-Ebene abgebildet derart, daß der Bogen \(C_2\) längentreu in ein Intervall I der reellen Achse übergeht. Sei \(u(z)\) (harmonische) Eigenfunktion zum Eigenwert \(\mu\), sei \(f(z)=u(z)+ iv(z)\) die holomorphe Ergänzung, und sei \(F(s)=f(z(s))\) die konforme Verpflanzung in die \(s\)-Ebene (mit \(z(s)\) als konformer (Umkehr-)Abbildung). Dann wird die entscheidende Hilfsfunktion (2) \(H(s)=F'(s)-i\mu F(s)\) gebildet. Aus der Randbedingung (1) folgt mit Hilfe der Cauchy-Riemannschen Differentialgleichung sofort \(\text{Im} H(s)=0\) auf dem Intervall I. Daher ist \(H(s)\) nach dem Spiegelungsprinzip analytisch fortsetzbar. Kann nun \(H(s)\) explizit bestimmt werden, so erhält man \(F(s)\) als Lösung der linearen Differentialgleichung (2). Ist auch die konforme Abbildung \(z(s)\) noch bekannt, so erhält man schließlich \(f(z)\) und damit die gesuchte Eigenfunktion \(u(z)=\text{Re}f(z)\). Diese elegante Methode wird an folgenden Beispielen erfolgreich durchgeführt: a) \(G=\mathbb{D}\setminus[x,1](0<x<1)\), mit \(C_1=[x,1]\) und \(C_2=\partial \mathbb{D}\setminus \{1\}\), b) \(G=\mathbb{D} \setminus[0,x]\) (Grötsch-Gebiet), mit \(C_1=[0,x]\), \(C_2=\partial\mathbb{D}\).