A remark on negative moments of the Riemann zeta-function (Q1592019)

Für \(T>3\) sei \(l_{T}>2\), und es gelte \(l_{T}\to \infty\enskip(T \to \infty)\). Mit \(\kappa _{T} = ({{1}\over {2}}\min(\log l_{T},\log\log T))^{-{{1}\over {2}}}\) \((T>3)\) werde für \(k\geq 0\), \(\sigma > {{1}\over {2}}\), \(T>3\) \[ J_{-k}(\sigma,T) = \int_{0}^{T}|\zeta (\sigma +it)|^{-k\kappa _{T}} dt \] gesetzt. Damit beweist der Verf. mit Hilfe geeigneter Sätze über Verteilungsfunktionen [\textit{A. Laurinčikas}, Limit theorems for the Riemann zeta-function, Kluwer, Dordrecht (1995; Zbl 0845.11002)] den folgenden Satz. Für ein \(k\geq 0\), \(\eta >0\), \(C>0\) und alle \(T>3\) gelte \(T^{-1}J_{-(k+\eta)}(\sigma _{T},T) \leq C\) mit \(\sigma _{T}= {{1}\over {2}} + l_{T}^{-1}\). Dann ist \[ J_{k}(\sigma_{T},T) = Te^{k^{2}/2}(1+o(1))\quad(T\to \infty) . \] Dieses Resultat läßt sich als Spezialfall einer Vermutung von \textit{S. M. Gonek} [On negative moments of the Riemann zeta-function, Mathematika 36, 71-88 (1989; Zbl 0673.10032)] interpretieren.