Quantitative results on algebraic independence of some numbers with good approximations (Q1597190)

Soit \(G=\mathbb{G}_a^{d_0} \times \mathbb{G}_m^{d_1}\times G_2\) un groupe algébrique commutatif défini sur un corps de nombres, où \(d_0\leq 1\) et \(G_2\) n'a pas de facteur linéaire. Soit \(\varphi:C\to G(C)\) un sous-groupe à un paramètre de \(G\), \(y_1,\dots,y_m\) des nombres complexes linéairement indépendants sur \(\mathbb{Q}\), \(\Gamma =\varphi(\mathbb{Z} y_1+\cdots+\mathbb{Z} y_m)\) et \(\omega\) l'ensemble des coordonnées des \(\varphi(y_j)\) dans un ``bon'' plongement de \(G\). Si \(\Gamma\) a un coefficient \(\kappa>1\) de répartition par rapport aux sous-groupes algébriques de \(G\) et sous une hypothèse technique standard, si \(s\) des coordonnées de \(\omega\) sont très bien approchées par les nombres algébriques, l'Auteur obtient une mesure d'indépendance algébrique de \(\omega\) qui montre que le degré de transcendance de \(\mathbb{Q} (\omega)\) sur \(\mathbb{Q}\) est \(\geq [\kappa]+s\). Ce travail prolonge des résultats antérieurs de \textit{M. Ably} [C. R. Acad. Sci., Paris, Sér. I 313, 653--655 (1991; Zbl 0758.11033) et J. Number Theory 42, 194--231 (1992; Zbl 0758.11032)] et \textit{D. M. Caveny} [Rocky Mt. J. Math. 26, 889--935 (1996; Zbl 0879.11039)].