What are divisors and what are they good for? (Q1601186)

Bei der vorliegenden Arbeit handelt es sich sowohl um eine ausführliche, sehr lesenswerte mathe\-matikhistorische Studie zum Divisor-Begriff als auch um eine originelle allgemeine Theorie von Integritätsringen mit zugeordneten `Divisoren'. Einen genaueren Überblick gibt der Autor in der Zusammenfassung seiner Arbeit: ``Der von Leopold Kronecker (1823--1891) geprägte Begriff `Divisor' kann als Klammer für die Teilbarkeitstheorien von Kronecker, Richard Dedekind (1831--1916) und Egor Ivanovic Zolotarev (1847--1878) dienen. Die ausführliche Einleitung versucht, den Leserinnen und Lesern einen Überblick über histografische und mathematische Arbeiten etwa der letzten zwanzig Jahre zu einem allgemeinen, an Kronecker anknüpfenden Divisor-Begriff zu geben. Der erste Teil des vorliegenden Aufsatzes ist einem detaillierten Vergleich von Dedekind und Kronecker hinsichtlich der von ihnen benutzten Begriffe und der Rezeption ihrer Theorien gewidmet. Der zweite Teil entwickelt systematisch und fast lückenlos eine allgemeine Theorie von Integritätsringen mit zugeordneten grössten gemeinsamen Teilern (``Divisoren'') ihrer Elemente (die nicht notwendig im Ring selbst existieren). Die Darstellung ist in die kommutative Algebra einzuordnen, wird jedoch -- abweichend von bestimmten einschlägigen Teilen der rezenten Literatur -- unter der Beschränkung ausgeführt, Äquivalente des Auswahlaxioms nicht zu benutzen, um alle Überlegungen so konstruktiv wie möglich zu gestalten.'' Ausgehend von Kroneckers Theorie der Divisoren diskutiert der Autor die Entwicklung des Divisor-Begriffs in der mathematischen Literatur und erwähnt auf Seite 143 insbesondere Bei\-träge von H. M. Edwards: ``\dots 1990 erschien die Monographie ``Divisor Theory'' von \textit{H. M. Edwards} [Divisor theory, Birkhäuser, Boston (1990; Zbl 0689.12001), 2nd printing (1994)], in der in bewußtem Rückgriff auf die Kroneckerschen Ansätze die Theorie der algebraischen Zahlen und Funktionen einer Unbestimmten bis zum Satz von Riemann-Roch aufgebaut wird\dots Diese Monographie regte mich dazu an, die in der heutigen Literatur zur Zahlentheorie und kommutativen Algebra dargestellten Divisoren-Theorien von neuem unter\-einander und mit dem Zugang von Kronecker zu vergleichen.'' Eine ebenso wichtige Rolle wie diese Monographie von H. M. Edwards spielt für den Autor die Dissertation von \textit{F. Lucius} [Ringe mit einer Theorie des größten gemeinsamen Teilers, Mathematica Gottingensis, Schriftenreihe des Mathematischen Instituts der Universität Göttingen. 7 (1996; Zbl 0901.13002)]. Hierzu bemerkt der Autor auf Seite 143: ``Es erscheint mir in höchstem Maße angebracht, auf diese Dissertation hier ausführlich einzugehen, weil ich aus ihr wesentliches Material (meistens in anderer Begründung) geschöpft habe und sie zahlreiche Hinweise auf die vorhandene Literatur enthält.'' Seiner systematischen Divisorentheorie stellt der Autor in dem Abschnitt ``Was sollen Divisoren leisten?'' eine ausführliche Diskussion voran; wir zitieren daraus die Anfangsbemerkungen auf Seite 154: ``Die Teilbarkeitstheorien von Kronecker, Dedekind, Weber und Zolotarev\dots sind die ersten umfassenden und erfolgreichen Reaktionen auf die Kummersche Theorie der ``idealen Zahlen'' und die Theorie der algebraischen Funktionen von Bernhard Riemann (1826-1866) und Karl Weierstrass (1815--1897)\dots Leistungsfähige Theorien überwinden in der Regel Schwierigkeiten, die sich einem anspruchsvollen Ziel entgegenstellen, und werden zu diesem Zweck geschaffen. Ein solches Ziel bestand in der Zahlentheorie um die Mitte des 19. Jahrhunderts darin, die von Kummer für Kreisteilungs-Zahlen geschaffene Theorie der ``idealen Zahlen'' auf beliebige Zahlkörper zu verallgemeinern, um algebraische Zahlen eines gegebenen Körpers eindeutig in ``ideale'' Primfaktoren zu zerlegen\dots In der Funktionentheorie ging es um eine ``arithmetische'' Neubegründung der Riemannschen und Weierstrassschen Ergebnisse\dots'' Dann entwickelt der Autor systematisch seine weitgehend konstruktive Divisorentheorie, die zwar alle vorher diskutierten mathematischen und historischen Zusammenhänge berücksichtigt aber davon logisch unabhängig als eigenständige, originelle mathematische Theorie gesehen werden muß. Nach Meinung des Referenten ist es dem Autor mit seiner Abhandlung in idealer Weise gelungen, eine gründliche mathematikhistorische Untersuchung mit einer eigenen mathematischen Theorie zu verbinden.