On sign distribution in relatively convergent series (Q1603243)

In der vorliegenden Arbeit werden Reihen \((\ast): \sum_{n=1}^\infty (-1)^{a_n}b_n\) mit \((a_n)\in \mathbb{Z}^\mathbb{N}\), \((b_n)\in \mathbb{R}^\mathbb{N}_+\) auf Konvergenz untersucht. Klar ist, daß dabei die Parität der \(a_n\) von entscheidender Bedeutung ist. Ist \(A:= \{n\in \mathbb{N}\mid a_n\text{ gerade}\}\), so wird mit \(A_n := A\cap\{1,\ldots,n\}\) folgender Dichtebegriff eingeführt: Sei \(h_0(i) := 1\) mit \(h_k(i):=1/\prod_{j=1}^k\ln_{j-1}(i+q_j)\) für \(k\in \mathbb{N}\); dabei ist \(\ln_{j-1}\) der \((j-1)\)fach iterierte Logarithmus und die \(q_j\in \mathbb{N}_0\) sind so fixiert, daß \(\ln_{j-1}(1+q_j) > 0\) gilt. Setzt man \(s_k(n):= \sum_{i=1}^n h_k(i)\), so heißen \(d_L^k :=\liminf\limits_{n\to\infty} (1/s_k(n)) \sum_{i\in A_n} h_k(i)\) bzw. analog \(d^k_U := \limsup\dots\) untere bzw. obere logarithmische Dichte der Ordnung \(k\) von \(A\) in \(\mathbb{N}\). Dies verallgemeinert \(d_L^0 = \liminf {1\over n} \operatorname{card}(A_n)\) bzw. \(d_U^0 =\limsup\dots\), die klassische untere bzw. obere Dichte von \(A\) in \(\mathbb{N}\). Die Ergebnisse des folgenden Abschnitts beziehen sich sämtliche auf den Fall, wo \((b_n)\) (nicht notwendig streng) monoton gegen 0 konvergiert und \(\sum b_n\) divergiert. Satz 1: Konvergiert \((\ast)\), so gilt \(d_L^0 \leq {1\over 2} \leq d_U^0\). (Dies geht auf E. Cesàro (1888) zurück.) Ein Beispiel belegt, daß die Monotonie von \((b_n)\) in Satz 1 notwendig ist. Satz 2: Es gilt \(d_L^0 = d_U^0 = {1\over 2}\) unter einer der beiden Zusatzbedingungen (a) \(\liminf n b_n >_ 0\) und \((\ast)\) konvergiert, oder (b) \(\lim nb_n = +\infty\) und \((\ast)\) hat beschränkte Partialsummen. Ein Beispiel zeigt, daß in (a) auf die Bedingung \(\liminf nb_n > 0\) nicht verzichtet werden kann. Auch wird die Existenz einer Folge \((a_n)\) mit \(d_L^0 = d_U^0 = {1\over 2}\) bewiesen, für die \((\ast)\) divergiert. Satz 3 behandelt den Fall \(k\in \mathbb{N}\) verallgemeinerter Dichten: Gibt es ein \(\ell\in \mathbb{N}\), so daß \((b_n/h_k(n))_{n\geq\ell}\) mono sobald eine der beiden folgenden Zusatzbedingungen erfüllt sind? (a) \(\liminf b_n/h_{k+1}(n) > 0\) und \((\ast)\) konvergiert; (b) \(\lim b_n/h_{k+1}(n) = +\infty\) und \((\ast)\) hat beschränkte Partialsummen. Abschließend wird gezeigt, daß es für die Konvergenz von \((\ast)\) hinreicht zu fordern: \((\alpha_n)\in \mathbb{R}^\mathbb{N}_+\) erfülle \(|\operatorname{card}(A_n) -{n\over 2}|\leq n\alpha_n\) für alle \(n\in \mathbb{N}\), \(\lim n\alpha_n b_n = 0\), \(\sum n\alpha_n|b_n-b_{n+1}|< +\infty\). Dies umfaßt ein früheres Resultat des Ref. [Arch. Math. 29, 518-523 (1977; Zbl 0365.10025)].