Volumes and Siegel-Veech constants of \({\mathcal{H}}(2G - 2)\) and Hodge integrals (Q1632240)

Étant donné \(g\geq1\) et une partition \(\mu=(m_{1},\dots,m_{n})\) de \(2g-2\), on définit la strate \(\mathcal{H}(\mu)\) paramétrant les paires \((X;\omega)\) où \(X\) est une surface de Riemann de genre \(g\) et \(\omega\) est une différentielle abélienne telle que \(\text{div}(\omega)=\sum m_{i}p_{i}\). Le lieux \(\mathcal{H}_{1}(\mu) \subset \mathcal{H}(\mu)\) des différentielles de volume \(1\) possède un volume naturel fini, dit de Masur-Veech. De nombreux efforts ont été produit pour calculer ces volumes. On pourra consulter [\textit{E. Goujard}, Ann. Inst. Fourier 66, No. 6, 2203--2251 (2016; Zbl 1368.30020)] sur ce problème. L'auteur commence par relier le volume de Masur-Veech de la strate \(\mathcal{H}(2g-2)\) à la théorie de l'intersection sur (une compactification de) cette strate. La proposition 1.3 montre que ce volume est égal à l'intégrale de la classe canonique de la strate à la puissance \(2g-1\), modulo une constante multiplicative explicite. Le résultat principal de cet article, le théorème 1.6, donne une relation explicite entre les nombres de Bernoulli et les volumes des strates \(\mathcal{H}(2g-2)\). La preuve utilise le résultat précédent et les techniques introduites dans le précédent article [\textit{A. Sauvaget}, ``Cohomology classes of strata of differentials'', Preprint \url{arXiv:1701.07867}]. Ce théorème a des conséquences intéressantes. Tout d'abord, il permet d'exprimerla constante de Siegel-Veech de la strate \(\mathcal{H}(2g-2)\) de manière similaire. De plus, il donne une très bonne assymptotique de ces volumes lorsque le genre \(g\) tend vers l'infini. Cela permet en particulier de prouver une conjecture de [\textit{A. Eskin} and \textit{A. Zorich}, Arnold Math. J. 1, No. 4, 481--488 (2015; Zbl 1342.32012)] dans le cas des strates \(\mathcal{H}(2g-2)\). A noter, que cette conjecture a été prouvée dans le cas de la strate \(\mathcal{H}(1,\dots,1)\) dans [\textit{D. Chen} et al., J. Am. Math. Soc. 31, No. 4, 1059--1163 (2018; Zbl 1404.32025)]. Je terminerais ce résumé par deux remarques. La strate \(\mathcal{H}(2g-2)\) n'est pas connexe mais possède trois composantes connexes pour \(g\geq3\). Ce travail ne permet pas de distinguer les volumes respectifs de ces composantes. De plus, il est important de noté que ces résultats sont conditionels: l'auteur utilise l'hypothèse qu'une métrique s'étend en une bonne métrique (au sens de Mumford) sur une compactification des strates. À ce jour, il n'existe pas de preuve de ce résultat, mais celle-ci devrait être disponible dans peu de temps.