Eigenvalues of curvature, Lyapunov exponents and Harder-Narasimhan filtrations (Q1746386)

L'objet principal de cet article est de proposer une conjecture entre les sommes partielles des exposants de Lyapounoff et les sommes partielles des pentes de la filtration de Harder-Narasimhan du fibré de Hodge sur une courbe de Teichmüller. Cette conjecture a été annoncée dans [\textit{H. Masur} (ed.) et al., Oberwolfach Rep. 11, No. 1, 869--941 (2014; Zbl 1349.00223)] et a été prouvée (dans une version généralisée) dans [\textit{A. Eskin} et al., Geom. Topol. 22, No. 4, 2299--2338 (2018; Zbl 1386.37036)]. Les sections 2 et 3 de cet article consistent essentiellement en des rappels sur les courbes de Teichmüller et la filtration de Harder-Narasimhan. La section 4 traite de certains aspects de la courbure dans ce problème. En particulier, il adapte un théorème de [\textit{M. F. Atiyah} and \textit{R. Bott}, Philos. Trans. R. Soc. Lond., Ser. A 308, 523--615 (1983; Zbl 0509.14014)]. Ce théorème dit que les sommes partielles des intégrales des valeurs propres de la courbure d'une fibré vectoriel hermitien sur une surface de Riemann sont supérieures aux sommes partielles des pentes de sa filtration de Harder-Narasimhan. La section 5 est dédiée à une discussion détaillée de la conjecture principal, de conjectures associées et d'applications. Une application est par exemple cette conjecture de Kontsevich-Zorich: pour \(k\in\mathbb{N}^{\ast}\) fixé, l'exposant de Lyapounoff \(\lambda_{k}\) du fibré de Hodge sur les composantes connexes hyperelliptiques \(\Omega\mathcal{M}_{g}^{\text{hyp}} (2g-2)\) et \(\Omega\mathcal{M}_{g}^{\text{hyp}} (g-1,g-1)\) converge vers \(1\) lorsque le genre \(g\) tends vers l'infini.