Catalan numbers, primes, and twin primes (Q1750153)

Zusammenfassung: In dem Beitrag führen die beiden Autoren in interessante Zusammenhänge zwischen Primzahlen bzw. Primzahlzwillingen und Catalanschen Zahlen ein. Dazu erinnern wir daran, daß die \(n\)-te Catalansche Zahl durch \(C_n = \frac1{n+1} \binom{2n}{n}\) gegeben ist. Bekanntlich gilt nun für eine ungerade Primzahl \(p\) nach dem kleinen Fermatschen Satz \(2^p\equiv 2 \bmod p\). Hiervon gilt allerdings nicht die Umkehrung; deshalb wird eine natürliche Zahl \(n\), welche \(2^n\equiv 2 \bmod n\) erfüllt, Pseudoprimzahl genannt. Der Zusammenhang zwischen Catalanschen Zahlen und Primzahlen besteht in dem offenbar wenig bekannten Ergebnis, daß für eine Primzahl \(p\) die Beziehung \[ (-1)^{(p-1)/2}C_{(p-1)/2} \equiv 2\bmod p \] gilt. Wiederum ist die Umkehrung hiervon im Allgemeinen nicht richtig, und man wird entsprechend zum Begriff der Catalanschen Pseudoprimzahl geführt. In Analogie zu den beiden genannten Kriterien stellen die Autoren schließlich zwei notwendige, aber nicht hinreichende Kriterien für Primzahlzwillinge vor.