A new line associated with the triangle (Q1750154)

Zusammenfassung: Fällt man von einem Punkt \(P\) aus die Lote auf die drei Seiten eines Dreiecks \(ABC\), so bestimmen die Fusspunkte \(X\), \(Y\), \(Z\) auf diesen Seiten die entsprechenden Seitenabschnitte \(BX\), \(CY\), \(AZ\). Es stellt sich heraus, daß der geometrische Ort aller Punkte \(P\), für welche diese Seitenabschnitte sich als Linearformen der Längen \(a\), \(b\), \(c\) der Dreiecksseiten ausdrücken lassen, die Gerade durch die Zentren \(\mathscr I\) und \(\mathscr O\) des In- bzw. des Umkreises ist. Dies ergänzt die Ergebnisse, daß die Gerade durch \(\mathscr I\) und den Schwerpunkt \(\mathscr G\) des Dreiecks der geometrische Ort der Punkte ist, deren baryzentrische Koordinaten projektiv linear in \(a\), \(b\), \(c\) sind und daß die Eulergerade durch \(\mathscr O\) und \(\mathscr G\) der geometrische Ort der Punkte ist, deren baryzentrische Koordinaten projektiv linear in \(\tan A\), \(\tan B\), \(\tan C\) sind. Außerdem generieren die Autoren durch Untersuchung der Geraden durch \(\mathscr I\), \(\mathscr O\) und \(\mathscr G\) zusätzliche spezielle Punkte des Dreiecks \(ABC\), die im Kimberling-Katalog der \glqq Dreieckszentren \grqq{} nicht aufgeführt sind. Theorem. Let \(ABC\) be a non-degenerate triangle with side-lengths \(a\), \(b\), and \(c\) in the standard order. For a point \(X\), \(Y\), \(Z\) in the plane of ABC, let \(X\), \(Y\), and \(Z\) be the projections of \(X\), \(Y\), \(Z\) on the sides \(BC\), \(CA\), and \(AB\), respectively. Then the centers for which \(BX\), \(CY\), and \(AZ\) are linear forms in a, b, and c form the straight line that joins the circumcenter and the incenter.