An interesting consequence of the Heisenberg construction (Q1750157)

Zusammenfassung: Nach Einführung des Gruppenbegriffs in der Algebra besteht eine der ersten Aufgaben darin, Gruppen kleiner Ordnung zu klassifizieren. Beispielsweise stellt Serge Lang in seinem Standardwerk zur Algebra die Aufgabe, alle Gruppen der Ordnung kleiner oder gleich 10 bis auf Gruppenisomorphie zu bestimmen. Dazu werden Struktursätze herangezogen, die am Anfang der Gruppentheorie stehen. Einer dieser Sätze besagt, daß unter der Voraussetzung der Zyklizität der Faktorgruppe \(G/Z(G)\) von \(G\) nach dem Zentrum \(Z(G)\) die Gruppe \(G\) selbst abelsch ist. In der vorliegenden Arbeit wird eine Variation dieser Fragestellung untersucht. Der Autor stellt sich die Frage, welche endlichen abelschen Gruppen \(A\) in der Form \(G/Z(G)\) auftreten, wobei das Zentrum \(Z(G)\) zyklisch ist (und die Gruppe \(G\) nicht mehr endlich zu sein braucht). Er beweist unter diesen Voraussetzungen, daß die Isomorphie \(A \cong B\times B\) mit einer abelschen Gruppe \(B\) besteht. Insbesondere kann eine endliche abelsche Gruppe \(A\) nicht von der Form \(G/Z(G)\) sein, wenn die Ordnung von \(A\) keine Quadratzahl ist. Theorem. (a) Let \(A\) be a finite abelian group which is isomorphic to \(G/Z(G)\) for some (possibly infinite) group \(G\) whose center \(Z(G)\) is cyclic. Then \(A \cong B\times B\) for some abelian group \(B\). In particular, finite abelian groups of non-square order can never be expressed as \(G/Z(G)\) for some G with cyclic center \(Z(G)\). (b) Conversely, let \(A\) be a finite abelian group. Then, the additive group \(A\times A^*\) is isomorphic to \(G/Z(G)\) for some group \(G\). Here \(A^* = \Hom(A, S^1)\), the character group. (c) There exist abelian groups of non-square orders which are of the form \(G/Z(G)\) with the center \(Z(G)\) non-cyclic.