Permanently singular elements in the class of multiplicatively convex bornological algebras (Q1779025)

On désigne par \({\mathcal M}\) (non défini dans l'article) la classe des algèbres bornologiques multiplicativement convexes, c'est-à-dire dont la base de bornologie est formée de disques idempotents. On s'intéresse à une de ces algèbres \(A\), dont la base \((B_i)\) est constituée de disques bornés, idempotents et contenant l'élément unité. Un élément \(x\) de \(A\) est réputé \(m\)-bornant s'il existe un indice \(i_0\) à partir duquel \(x\) soit bornant dans tout \(A_{B_i}\) (autrement dit, il existe une partie non bornée \(D\) de \(A_{B_i}\) pour laquelle \(xD\) y soit bornée). Une propriété équivalente est: it n'existe aucune \({\mathcal M}\)-extension bornologique de \(x\) où \(x\) soit inversible (on dit, alors, que \(x\) est singulier dans \({\mathcal M}\)). Un tel résultat est inexact si l'on remplace \({\mathcal M}\) par la classe de toutes les algèbres bornologiques.