Harmonic analysis in infinite dimension (Q1803182)

Die Hermite'sche Transformation \(\Phi\) ist \[ \Phi(f)(u)= \int f(x)\exp (\langle u,x\rangle- | u|^ 2/2) \mu(dx), \] die Wick'sche Transformation ist \[ \widetilde{\sigma}= \int \exp(\langle u,x\rangle- | u|^ 2/2)\sigma (du). \] Damit ist \(\Phi(\widetilde{\sigma})\) die Laplace'sche Transformation \(\widehat{\sigma}\) von \(\sigma\) und allgemein durch \(\Phi\Phi^*\) definiert. \((\Phi)\) bildet den Raum \(({\mathcal H})\) der reellen \(L^ 2(\mu)\) Funktionen \(f\) auf einen lokal konvexen Lusin Raum \(E\) ab. Ebenso bildet \(\Phi\) den Raum der Hida Testfunktionen \(({\mathcal S})\) auf den Unterraum \({\mathcal H}_ \infty\) ab [\textit{Yu. G. Kondrat'ev}, Sov. Math., Dokl. 22, 588-592 (1980; Zbl 0474.46033)]. \({\mathcal H}_ \infty\) wird hier näher untersucht und gezeigt, daß \({\mathcal S}= {\mathcal H}_ \infty\) und eine Algebra für das gewöhnliche und das Wick Produkt dargestellt. Auf ähnliche Weise wird gezeigt, daß \(\Phi\Phi^*\) ein Isomorphismus von \(({\mathcal S})'\) auf \(({\mathcal H})'\) ist und \(({\mathcal S})'\) eine Faltungsalgebra darstellt. [\((\;)'\) ist der duale Raum von \((\;)\).] Die Darstellung positiver Distributionen in \({\mathcal H}_ \infty\) und ihre Darstellung in \({\mathcal S}\) wird hier, nach Einführung eines geeignet gewählten Kapazitätsbegriffes, einfacher bewirkt als bei Kondratev und \textit{Y. Yokoi} [Hiroshima Math. J. 20, No. 1, 137-157 (1990; Zbl 0714.60052)]. Es werden hier auch Formeln abgeleitet, die sich von endlichen auf unendliche Dimensionen verallgemeinern lassen.