A note on traces of differential forms (Q1805919)

Soient \(k\subset A\subset B\) des extensions d'anneaux intègres, \(F\) le corps des fractions de \(A\) et \(L\) le corps des fractions de \(B\). On suppose que \(A\) est integralement clôs et \(L\) est une extension finie et séparable de \(F\). Alors on a un isomorphism canonique \(\Omega_{F/K} \bigotimes_F L\approx\Omega_{L/k}\). On note \(\Omega^i_{A/k} =\bigwedge^i_A \Omega_{A/k}\), \(c_A:\Omega^i_{A/k} \to\Omega^i_{F/k}\) l'application canonique et \[ T:\Omega^i_{L/k} \to\Omega^i_{F/k}\approx \Omega^i_{A/k} \otimes_AF,\quad T(e)= \sum f_j\text{Tr}^L_F(l_j), \] où \(e=\sum f_jl_j \in\Omega^i_{L/k}\), \(f_j\in \Omega^i_{F/k}\) et \(l_j\in L\). L'A. démontre que \(T(c_B(\Omega^i_{B/k})) \subset c_A(\Omega^i_{A/k})\) et donne une application géométrique de cette relation.