Generalized Fourier transform of slow-growth distributions (Q1813805)

Si \(f\in L_{loc}^ 1(\mathbb{R}^ n)\) est une fonction lentement croissante à l'infini, on appelle transformée de Fourier généralisée de \(f\), la fonction \(\tilde F[f]: \mathbb{R}_ +^{n+1}\to \mathbb{C}\), \(\tilde F[f](x,y):=F[f e^{-|\cdot| y}](x)\), où \(F\) est la transformation de Fourier classique, \(x\in \mathbb{R}^ n\), \(y>0\). \(\tilde F[f]\) est une fonction harmonique et \(\lim_{y\to 0}\tilde F[f](\cdot,y)=F[f]\) dans \({\mathcal S}'(\mathbb{R}^ n)\). En utilisant le fait que toute distribution tempérée est une dérivée d'un fonction continue lentement croissante à l'infini, ou peut étentre cette définition au cas où \(f\in{\mathcal S}'(\mathbb{R}^ n)\). On donne aussi un formule d'inversion de \(\tilde F\) et certaines applications: calcul des transformées de Fourier de certaines distributions tempérées et un analogue du théorème de Vladimirov concernant le formule de Cauchy- Bochner pour des cónes [voir \textit{V. S. Vladimirov}, Fonctions généralisée dans la physique mathématique (1976), en russe].