Algebraic independence of certain numbers (Q1819111)

Vorausgeschickt seien zwei Definitionen. \(\gamma := {b \over a} \omega\) mit teilerfremden \(a,b\in\mathbb{N}\) heißt ein streng rationales Vielfaches von \(\omega\in\mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}\), wenn \(a\) alle Teilnenner des Kettenbruchs von \(\omega\) mit geradem Index teilt. Des weiteren sagt man, Irrationalzahlen \(\omega_1,\dots,\omega_t\in]0,1[\) mit Kettenbruch \(\omega_i =[0;a_{i1},a_{i2},\dots]\) für \(i=1,\dots,t\) genügen der Produktwachstumsbedingung (PWB), wenn es eine unendliche Teilmenge \(M\) von \(\mathbb{N}\) gibt derart, daß bei \(n \to\infty\), \(n\in M\) gilt: \[ \prod_{k\leq n+1} (\omega_{\mu k}+1) = o(\prod_{k\leq n+1} \omega_{\nu k}) \quad \text{für }1\leq\mu<\nu\leq t \] sowie \[ \prod_{k\leq n} (\omega_{\mu k}+1) = o(\prod_{k\leq n+1}\omega_{\nu k}) \quad \text{für }\mu,\nu = 1,\dots,t. \] Damit lassen sich die beiden Hauptsätze der vorliegenden Arbeit über die verallgemeinerte Hecke-Mahlersche Funktion \(f_{\omega,\gamma}(z,w):= \sum_{n=1}^\infty z^n \sum_{m=1}^{[n\omega+\gamma]} w^m\) folgendermaßen formulieren. 1. Genügen die Irrationalzahlen \(\omega_1,\dots,\omega_t\) der PWB und ist für jedes \(i = 1,\dots,t\) die Zahl \(\gamma_i\) ein streng rationales Vielfaches von \(\omega_i\) \((0<\gamma_i\leq \omega_i<1)\), so sind die Funktionswerte \(f_{\omega_i,\gamma_i}(\alpha_{ij},\theta_i)\) \((1\leq j\leq s(i), 1\leq i\leq t)\) algebraisch unabhängig, wenn alle auftretenden \(\alpha_{ij}, \theta_i\) algebraische Zahlen sind derart, daß \(0 <|\theta_i|\leq 1\), \(0 < |\alpha_{ij}|< 1\) gilt und kein Quotient \(\alpha_{i\mu}/\alpha_{i\nu}\) \((\mu\not= \nu)\) eine Einheitswurzel ist. 2. Die Irrationalzahl \(\omega\in]0,1[\) habe unbeschränkte Teilnennerfolge und \(\gamma\) (mit \(\gamma\leq\omega)\) sei ein streng rationales Vielfaches von \(\omega\). Seien \(\alpha_1,\dots,\alpha_t\) algebraische Zahlen mit \(0 < |\alpha_i|< 1\), so daß kein Quotient \(\alpha_i/\alpha_j\) \((i\not=j)\) eine Einheitswurzel ist; \(\theta\) sei algebraisch mit \(0 <|\theta|\leq 1\). Dann sind \(f_{\omega,\gamma}(\alpha_i,\theta)\) \( (i=1,\dots,t)\) algebraisch unabhängig. Die Beweise verwenden Approximationsmethoden für algebraische Unabhängigkeit, wie sie der zweite Verf. verschiedentlich angewandt hat. Außerdem sind wesentlich geeignete auf \textit{J. M. Borwein} und \textit{P. B. Borwein} [J. Number Theory 43, 293-318 (1993; Zbl 0778.11039)] zurückgehende Umformungen für die Funktion \(f_{\omega,\gamma}(z,w)\) sowie deren a.a.o. eingeführter inhomogener Kettenbruchalgorithmus.