Generators for the motion group of metric vector spaces (Q1819365)

Es sei V ein metrischer Vektorraum beliebiger Dimension über einem Körper K; die die Metrik auf V gründende quadratische Form sei q, und \(V^{\perp}\) bezeichne das Radikal von V. Die eigentliche Bewegungsgruppe M ist diejenige Untergruppe der Bewegungsgruppe, die von den Translationen und allen Produkten zweier Spiegelungen an nicht- isotropen Vektoren erzeugt wird. Die Verff. studieren das Problem, wann M von der Stabilisatoren \(M_ 0\) und \(M_ a\) der verschiedenen Vektoren 0 und a erzeugt wird. Sie erhalten vollständige Antwort, wenn a isotrop ist oder \(V\setminus V^{\perp}\) isotrope Vektoren enthält. Ist nämlich a isotrop, so gilt \(M=<M_ o\cup M_ a>\) genau dann, wenn \(a\not\in V^{\perp}\) und die Kodimension von \(V^{\perp}\) entweder mindestens 3 ist oder zwar \(co\dim V^{\perp}=2\) gilt, aber dann \(| K| >2\) und \(q|_{V^{\perp}}\neq 0\) ist. Ist \(a\in (V\setminus V^{\perp})\) nicht isotrop, enthält aber \(V\setminus V^{\perp}\) isotrope Vektoren, so ist \(M=<M_ o\cup M_ a>\) genau dann, wenn die Kodimension von \(V^{\perp}\) entweder mindestens 3 ausmacht oder zwar \(co\dim V^{\perp}=2\) gilt, aber dann \(| K| \geq 5\) oder \(| K| =4\) und \(q|_{V^{\perp}}\neq 0\) ist. Enthält \(V\setminus V^{\perp}\) nur nichtisotrope Vektoren, so hängt die Erzeugbarkeit von M durch die Menge \(M_ o\cup M_ a\) von der arithmetischen Struktur des Körpers K ab: Ist etwa \(K={\mathbb{R}}\), so gilt \(M=<M_ o\cup M_ a>\) genau dann, wenn \(a\not\in V^{\perp}\) zutrifft und die Kodimension von \(V^{\perp}\) mindestens 2 ist. Ist \(K={\mathbb{Q}}\) und \(V={\mathbb{Q}}^ n\oplus V^{\perp}\) mit \(n\geq 2\), so daß die Restriktion von q auf \({\mathbb{Q}}^ n\) die Euklidische quadratische Standardform ist, so ist \(M=<M_ o\cup M_ a>\) genau dann, wen \(a\not\in V^{\perp}\) gilt, n mindestens 5 ist und \(co\dim V^{\perp}\) mindestens 2 ausmacht.