Averaging of nonlinear integro-differential equations with impulses (Q1821292)

Im \((m+1)\)-dimensionalen Gebiet \((x,t)\in G\times R^+\), \(x\in G\subset R^ m\), \(t\in R^+\), gibt man eine Hyperflächenfolge \(t=t_ i(x)\), \(i=1,2,...\), mit \(0<t_ 1(x)<t_ 2(x)<...\), und für gegebene Funktionen \(\nu (\epsilon)\subset R^+\), \(0<\epsilon \leq {\bar \epsilon}\); \(X(t,x,y)\in R^ m\), \(t\in R^+\), \(x,y\in R^ m\); \(\psi (\theta,s,x,\epsilon)\in R^ m\), \(\theta \in R^+\), \(s\in R\), \(x\in G\), \(\epsilon\in]0,{\bar \epsilon}]\), betrachtet man das Problem, ein System von Integrodifferentialgleichungen des Typs \[ \dot x(t)=\gamma X[t,x(t),(1/\epsilon)\int^{t}_{-\infty}\psi ((t- s)/\epsilon,s,x(s),\epsilon)ds],\quad t>0,\quad t\neq t_ i(x) \] zu lösen, wobei x(t) vorgeschriebene Sprünge \(x(t^+_ i)-x(t^-_ i)\) und außerdem gegebene Anfangswerte \(x(t)=\phi (t,\epsilon)\), \(t\leq 0\) haben soll. Unter passenden Voraussetzungen definiert man ein gewisses, von \(\epsilon\) abhängendes Differentialgleichungssystem, das sogenannte ''averaged system'', für welches man einer jeden Lösung x(t) des obigen Problems und allen Zahlen \(\eta >0\), \(L>0\) eine Lösung \(\bar x(t)\) entsprechen lassen kann, die die Ungleichung \(\| x(t)-\bar x(t)\| <\eta\) für alle \(t\in [0,L\epsilon^{-1}]\) befriedigt.