Irrationalité de certaines intégrales hypergéométriques. (Irrationality of certain hypergeometric integrals) (Q1821811)

Dans ce texte l'A. étudie l'irrationalité et les mesures d'irrationalité de certaines valeurs de fonctions hypergéométriques, nombres de la forme \(_ 2F_ 1\left[ \begin{matrix} 1,1/k\\ 1+1/k\end{matrix} | \quad \epsilon x^ k\right]\) où \(\epsilon =\pm 1\), k entier \(\geq 2\) et x étant soumis à des conditions relatives à \(\epsilon\) et k. Il retrouve ainsi les meilleures mesures pour Log 2, \(\pi\) /\(\sqrt{3}\) et démontre des mesures nouvelles pour des nombres comme \(Log[\frac{1+\sqrt{5}}{2}]/\sqrt{5}\) et \((\pi /\sqrt{3})+Log 3.\) La méthode développée utilise de façon essentielle les approximants de Padé de type (n,n) de la fonction \(_ 2F_ 1\left[ \begin{matrix} 1,b\\ 1+b\end{matrix} | \quad z\right].\) Les corollaires incluent des mesures d'irrationalité de \((1/\sqrt{x})Log[(1+\sqrt{x})/(1- \sqrt{x})],\) \((1/\sqrt{x})Arctg(\sqrt{x})\) et \(\int^{x}_{0}\frac{dt}{1+t^ 3}\) où \(x\in {\mathbb{Q}}\) est sujet à diverses restrictions.