Fermeture des opérateurs dissipatifs invariants. (Closure of invariant dissipative operators) (Q1822334)

Soit G un groupe localement compact et A un opérateur dissipatif, de domaine dense et invariant à gauche dans l'espace \({\mathcal C}_ 0(G)\) des fonctions réelles où complexes continues sur G et tendant vers 0 à l'infini. On munit \({\mathcal C}(G)\) de la topologie \({\mathcal C}_ u\) (resp. \({\mathcal C}_ c)\) de la convergence uniforme sur G (resp. de la convergence uniforme sur les compacts de G). On sait que A se prolonge en un générateur infinitésimal B d'une semigroupe fortement continu de contractions invariant à gauche dans \({\mathcal C}_ 0(G)\). H. Nakazato a prouvé récemment que ce prolongement B est unique mais qu'en général B n'est pas la fermeture de A dans (\({\mathcal C}_ 0(G),{\mathcal C}_ u)\times ({\mathcal C}_ 0(G),{\mathcal C}_ u)\), bien que cela soit vrai dans certains cas particuliers importants, par exemple si G est commutatif ou compact. Le présent article établit \(que\) 1\({}^ o)\) dans tous les cas, B est la fermeture de A dans (\({\mathcal C}_ 0(G),{\mathcal C}_ u)\times ({\mathcal C}_ 0(G),{\mathcal C}_ c)\), ce qui explique notamment l'unicité de \(B;\) 2\({}^ o)\) dans le cas particulier où il y a suffisamment de fonctions à support compact dans le domaine de A, B est la fermeture de A dans (\({\mathcal C}_ 0(G),{\mathcal C}_ u)\times ({\mathcal C}_ 0(G),{\mathcal C}_ u)\).