Erzeugende endlicher projektiver linearer Gruppen. (Generators of finite projective linear groups) (Q1822629)

Sei p eine Primzahl, \(q=p^{\nu}\) eine Primzahlpotenz und \(k=GF(q)\) das Galoisfeld mit q Elementen. \textit{H. Glover} und \textit{D. Sjerve} [J. Reine Angew. Math. 380, 59-86 (1987; Zbl 0613.57019)] bestimmen das Geschlecht der projektiven linearen Gruppe \(PSL(2,k)=PSL(2,q)\), d.h. die kleinste natürliche Zahl g derart, daß die PSL(2,k) effektiv und orientierungserhaltend auf einer geschlossenen orientierten Fläche vom Geschlecht g operiert. Diese Bestimmung des Geschlechts reduziert sich mittels der Riemann-Hurwitz Formel leicht auf die Bestimmung der Triangelgruppen \((n,m,l)=<x,y|\) \(x^ n=y^ m=(xy)^ l=1>\), \(2\leq n,m,l\), mit kleinen natürlichen Zahlen n und m, welche die PSL(2,k) als epimorphes Bild mit torsionsfreiem Kern haben. \textit{A. M. Macbeath} [Proc. Symp. Pure Math. 12, 14-32 (1969; Zbl 0192.357)] untersuchte unter welchen Bedingungen die PSL(2,k) eine Hurwitz-Gruppe, d.h. ein epimorphes Bild der Triangelgruppe (2,3,7), ist. In diesem Artikel antworten die Autoren auf folgende Frage: Für welche Galoisfelder k gibt es in der Triangelgruppe \(G=(n,m,l)\) einen torsionsfreien Normalteiler N mit G/N\(\cong PSL(2,k)\) (bzw. G/N\(\cong PGL(2,k))\).