Chains of subgroups in symmetric groups (Q1824687)

Eine Untergruppenkette der Länge m einer endlichen Gruppe G ist eine echt abnehmende Kette von Untergruppen \(G=G_ 0>G_ 1>...>G_ m=\{1\}\). Mit l(G) ist die maximale Länge einer Untergruppenkette von G bezeichnet. Verff. beweisen folgende Vermutung von \textit{L. Babai} [Commun. Algebra 14, 1729-1736 (1986; Zbl 0604.20004)] über die maximale Länge \(l(S_ n)\) der symmetrischen Gruppe in n Elementen: \(l(S_ n)=[(3n-1)/2]-b_ n\); hierbei ist \(b_ n\) die Quersumme von n in dualer Zifferndarstellung. Ferner wird folgender Satz von P. Neumann bewiesen: Ist d(G) die minimale Anzahl der Erzeugenden von \(G\leq S_ n\), so gilt d(G)\(\leq Max\{2,[n/2]\}\). Operiert G transitiv und ist \(n\geq 5\), so gilt schärfer \(d(G)<n/2\) außer im Fall \(n=8\) und \(G\cong D_ 8\circ D_ 8\).