Symmetrische Schrotungen an verallgemeinerten Regelflächen des \(E_ n\). (Symmetric motions with respect to generalized ruled surfaces in \(E_ n)\) (Q1825444)

Es wird das von J. Krames stammende Konzept der symmetrischen Schrotungen auf verallgemeinerte Regelflächen des \(E_ n\) übertragen. Bei derartigen Zwangläufen werden die Punkte des Raumes an den Erzeugenden einer Grundregelfläche gespiegelt. Die Bahnkurven entstehen daher durch zentrische Verdoppelung der Fußpunktkurven des jeweiligen Punktes bezüglich der Grundregelfläche mit dem Drall der Erzeugenden als Schraubparameter. Um diese Ergebnisse auf \(k+1\)-Regelflächen zu übertragen, wird zunächst gezeigt, daß das Produkt der Spiegelungen aus zwei sich schneidenden k-dimensionalen Teilräumen des \(E_ n\) eine Drehung um einen Achsenraum ist. Weiters gibt es im Falle von windschiefen Teilräumen einen Gemeinlotfußpunktsraum auf jedem Teilraum, der jeweils durch eine Gemeinlotrichtung auf den anderen parallel projiziert werden kann. Es gilt dann, daß in diesem Falle zwei Spiegelungen an den Teilräumen durch eine Drehung um den Achsenraum und eine Schiebung in Richtung des Gemeinlotes ersetzt werden können. Mit diesen Zwischenergebnissen wird gezeigt, daß im allgemeinen Fall, d.h. wenn benachbarte Erzeugende windschief sind, die Momentanbewegung einer symmetrischen Schrotung eine Drehung um einen, durch Grenzübergang aus dem Achsenraum benachbarter Erzeugender hervorgegangenen Teilraum und eine Schiebung in Richtung des Zentraltangentenvektors (Grenzlage der Gemeinlotrichtung) ist. Besitzen benachbarte Erzeugende einen Schnitt, so ist die Momentanbewegung eine reine Drehung um die Grenzlage des Achsenraumes bzw. eine Schiebung in Richtung des Zentraltangentenvektors im Falle von zylindrischen Erzeugenden.