Polynomial Diophantine equations with high multiplicity (Q1826296)

Ce texte présente des families de solutions polynomiales de l'équation \(A+ B= C\), \(A,B,C\in \mathbb{C}[X]\) premiers entre eux, réalisant l'égalité dans le théorème de Mason: \(\max(d^0A, d^0B, d^0C)\leq\text{card}\{z\in \mathbb{C}; ABC(z)= 0\}- 1\). En particulier, l'auteur y étudie les transformations de ces cas d'égalité par des substitutions polynomiales de la variable. Lorsque \(d^0C= 0\) l'inégalité de Mason se réduit à l'énoncé suivant: pour tous ensembles finis disjoints \(S_0\), \(S_1\) de \(\mathbb{C}\) il existe au plus un polynôme \(P\in\mathbb{C}[X]\) satisfaisant \(P(S_0)= 0\) et \(P(S_1)= 1\). Enfin, en spécialisant des relations polynomiales déduites d'un cas d'égalité par substitutions successives, l'auteur construit une suite de couples d'entiers \((a_n, b_n)_{n\in\mathbb{N}}\) telle que \[ {a^3_n- b^2_n\over \sqrt{a_n}}@>> n\to\infty> 2.3^3.5^{-{5\over 2}}, \] donnant une limite inférieure pour la constante dans la conjecture de Hall: \(| a^3- b^2|\gg \sqrt{a}\) pour tout couple d'entiers \((a, b)\in\mathbb{Z}\), \(a^3\neq b^2\).