Sull'applicazione del calcolo degli operatori funzionali alla risoluzione di equazioni integrali del Volterra. (Q1827873)

Verf. findet mit Hilfe der Funktionalrechnung für die \textit{Volterra}sche Integralgleichung: \[ W(t)=\lambda V(t) + \int\limits_{-\infty}^t V(\tau)K(t - \tau)\,d\tau \] die symbolische Lösung: \[ V(t) = \frac 1{\lambda+f(\varDelta)}W(t), \quad \text{wo} \quad \varDelta=\frac d{dt}, \;f(\varDelta)=\int\limits_0^\infty K(\theta)e^{-\theta\varDelta}\,d\theta. \] Die Methode wird auf folgende Integralgleichungen angewendet: \[ W(t)= \int\limits_{-\infty}^t V(\tau) \left[\log\frac 1{t-\tau}+E\right]\,d\tau, \tag{1} \] wo \(E\), vom Vorzeichen abgesehen, mit der \textit{Euler}schen Konstante übereinstimmt (\textit{V. Volterra} und \textit{J. Pérès}, Leçons sur la composition et les fonctions permutables (1924; F. d. M. 50, 290 (JFM 50.0290.*)), S. 130). Die Lösung ist: \[ \begin{gathered} V(t) = \frac{\varDelta}{\log\varDelta}W(t) = \varDelta \int\limits_0^\infty W(t-\tau)\,d\tau \int\limits_0^\infty \frac{\tau^\varkappa}{\varGamma(\varkappa+2)}\,d\varkappa.\\ W(t)=\int\limits_{-\infty}^t V(\tau) \frac{e^{h(t-\tau)} e^{h(\tau-t)}}{t-\tau}\,d\tau \quad (h > 0) \tag{2} \end{gathered} \] (\textit{O. Tedone}, Rendiconti Accad. d. L. Roma (5) 24 (1915), 544-554; F. d. M. 45, 537 (JFM 45.0537.*)); \[ W(t)= \int\limits_{-\infty}^t V(\tau)J_n(t-\tau)\,d\tau, \tag{3} \] wo \(J_n\) die \textit{Bessel}sche Funktion \(n\)-ter Ordnung bezeichnet (\textit{O. Tedone}, Rendiconti Accad. d. L. Roma (5) 23 (1914), 473-480; F. d. M. 45, 573 (JFM 45.0573.*)-574); \[ W(t)= \int\limits_{-\infty}^t V(\tau)(t-\tau)^nJ_n(t-\tau)\,d\tau \tag{4} \] (\textit{O. Tedone}, daselbst); \[ W(t)= \int\limits_{-\infty}^t V(\tau) \frac{J_n(t-\tau)}{t-\tau}\,d\tau. \tag{5} \] Man kann die Gleichungen von der Form: \[ W(t) = P(\varDelta)V(t) + Q(\varDelta)\int\limits_{-\infty}^t V(\tau)K(t-\tau)\,d\tau \] (\textit{Volterra}sche Integralgleichungen zweiter Art und Integrodifferentialgleichungen), wo \(R(\varDelta)\) und \(Q(\varDelta)\) Polynome bezeichnen, auf ähnliche Weise behandeln. Einige Vervollständigungen der obigen Untersuchungen bilden den Inhalt eines Anhangs.