Über die gestaltliche Diskussion des durch eine gewisse Differentialgleichung 1. Ordnung 2. Grades definierten Kurvensystems. (Q1827905)

Verf. untersucht den Gesamtverlauf der Integralkurven der Differentialgleichung erster Ordnung und zweiten Grades \[ (a_0x+b_0y+c_0)y'{}^2 + 2(a_1x + b_1y+c_1)y' + (a_2x + b_2y + c_2) = 0, \tag{1} \] wobei die Konstanten \(a_i\), \(b_i\), \(c_i\), reell sind. Bei der allgemeineren Gleichung \[ A(x,y)y'{}^2 + 2B(x, y) y' + C(x, y) = 0, \] deren Koeffizienten lediglich gewissen Stetigkeits- und Differentiierbarkeitsvoraussetzungen genügen, hat schon \textit{A. Wahlgren} (1902; F. d. M. 33, 339 (JFM 33.0339.*)) angegeben, wie die Integralkurven in der Nachbarschaft eines singulären Punktes verlaufen können; diese Untersuchung wird hier in dem Spezialfall der Gleichung (1) ergänzt und dadurch vertieft, daß für viele der von \textit{Wahlgren} angegebenen möglichen Fälle durch Beispiele belegt wird, daß sie auch tatsächlich auftreten. I. Abschnitt. Wird \[ \begin{gathered} a_ix + b_iy+c_i=g_i, \quad a_i\xi + b_i\eta + c_i = \gamma_i \quad (i =1,2, 3), \\ R = \left| \begin{matrix} a_0 & b_0 & c_0 \\ a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \end{matrix} \right| \end{gathered} \] gesetzt, so ist die Diskriminantenkurve der Gleichung (1) der Kegelschnitt \[ D(x,y) \equiv g_0g_2 - g_1^2= 0; \] seine Determinante ist gleich \(\frac 14 R^2\); die Diskriminantenkurve \(D = 0\) zerfällt also genau dann in ein Geradenpaar, wenn die drei Geraden \(g_i=0\) durch einen Punkt gehen. Verf. betrachtet zunächst den Fall \(R\neq 0\). Die Isoklinen von (1) sind die Geraden \[ g_0k^2 + 2g_1k + g_2=0. \tag{2} \] Setzt man \[ \gamma_0k + \gamma_1 = 0, \quad \gamma_1k+\gamma_2=0, \tag{3} \] so ist \(D(\xi,\eta) = 0\), also \((\xi,\eta)\) ein Punkt der Diskriminantenkurve, und aus (2) folgt, daß \[ g_0\gamma_2 + g_2\gamma_0 - 2g_1\gamma_1 =0, \] d. h. daß die Isokline (2) Tangente (oder Asymptote) des Diskrimmantenkegelschnittes ist. Da \(R \neq 0\) ist, ergeben sich, die Koordinaten \((\xi,\eta)\) des Berührungspunktes eindeutig aus (3). -- Sollen die von der Isoklinen (2) getragenen Linienelemente die Richtung der Isoklinen haben, so muß \(k\) Nullstelle des Polynoms \[ W(k) = a_2 + (2a_1 + b_2) k + (2b_1 + a_0) k^2 + b_0 k^3 \] sein. Ist \(W(k) \equiv 0\), so sind die Tangenten (und Asymptoten) des Diskriminantenkegelschnittes die regulären Integralkurven, und der Diskriminantenkegelschnitt selbst ist singuläre Integralkurve der Gleichung (1). Ist \(W(k) \neq 0\), so hat \(W(k)\) drei Nullstellen \(k = h_1, h_2, h_3\), denen die Hauptrichtungen entsprechen; die zugehörigen Isoklinen sind Integralkurven und werden als Hauptstrahlen \(s_1\), \(s_2\), \(s_3\) bezeichnet; deren Berührungspunkte \(S_1\), \(S_2\), \(S_3\) sind die singulären Punkte der Gleichung (1) in der Bezeichnungsweise von \textit{v. Dyck}. -Ist \(y' = k\) und gleichzeitig \(y'' = 0\), so muß nach (1) die Gleichung \(W(k) = 0\) gelten; zwischen den Hauptstrahlen sind also die Integralkurven konvex im engeren Sinn. Auf dem Diskriminantenkegelschnitt haben die Integralkurven gewöhnlich Spitzen. II. Abschnitt. Hat \(W(k)\) drei verschiedene reelle Nullstellen, so besitzen die Integralkurven eine Parameterdarstellung \[ z = t'(p), \quad y = pt'(p)-t'(p) \] mit der Steigung der Tangente als Parameter, worin \[ t(p)=|p-h_1|^{\beta_1}|p-h_2|^{\beta_2}|p-h_3|^{\beta_3} \left\{\varGamma - \int\limits_{p_0}^p \frac {\dfrac{\gamma_1}{p-h_1} + \dfrac{\gamma_2}{p-h_2} + \dfrac{\gamma_3}{p-h_3}}{|p-h_1|^{\beta_1} |p-h_2|^{\beta_2} |p-h_3|^{\beta_3}}\,dp\right\}. \tag{4} \] \(\varGamma\) ist die Integrationskonstante, \(\beta_1+\beta_2+\beta_3=1\). Die Zahlen \(\gamma_i\) und \(h_i\) sind kovariant, die Zahlen \(\beta_i\) invariant bei affinen Transformationen der Gleichung (1). Mittels derselben werden die Gleichungen der Hauptstrahlen \[ s_i \equiv \beta_i(y - h_ix) + \gamma_i = 0 \quad (i = 1, 2, 3). \] Sind \(P_1\), \(P_2\), \(P_3\) die Ecken des von den Hauptstrahlen gebildeten Dreiecks, so ist \[ \frac{P_2S_1}{S_1P_3}=\frac{\beta_2}{\beta_3}, \quad \frac{P_3S_2}{S_2P_1}=\frac{\beta_3}{\beta_1}, \quad \frac{P_1S_3}{S_3P_2}=\frac{\beta_1}{\beta_2}. \] Aus (4) gewinnt Verf. Reihenentwicklungen, die eine eingehendere Diskussion des Verlaufes der Integralkurven in der Umgebung eines einfachen, im Endlichen gelegenen singulären Punktes ermöglichen. Im III. Abschnitt wird der Gesamtverlauf der Integralkurven für den Fall dreier verschiedener singulärer Punkte untersucht; es ergeben sich dabei acht Grundtypen des Integralkurvenbildes, falls diese drei singulären Punkte im Endlichen liegen. Rücken ein oder zwei der singulären Punkte auf der festen Diskriminantenkurve ins Unendliche und werden dabei ein oder zwei der Hauptstrahlen zu Asymptoten (Hauptstrahlasymptoten), so entstehen vier weitere Typen. Schließlich wird einer der drei Hauptstrahlen mit der unendlich fernen Geraden identifiziert; die Diskriminantenkurve ist dann eine Parabel, die nicht singuläre Integralkurve ist, und es kommen drei weitere Typen hinzu. Für alle 15 Typen des Integralkurvenbildes werden einfache Beispiele und Bilder gegeben. Im IV. Abschnitt werden die Änderungen besprochen, die eintreten, wenn \(W(k)\) zusammenfallende Nullstellen hat. Dabei ergeben sich 11 weitere typische Integralkurvenbilder, die ebenfalls durch einfache Beispiele und Abbildungen belegt werden. Im V. Abschnitt wird der Fall \(R = 0\) behandelt: Der Diskriminantenkegelschnitt zerfällt in zwei Geraden mit eigentlichem Schnittpunkt \(P\). Auch jetzt treten drei Hauptstrahlen auf, die durch \(P\) gehen. Die nicht geradlinigen Integralkurven sind wendepunktfrei und ähnlich gelegen zu \(P\) als Ähnlichkeitszentrum. Die Integration der Gleichung (1) gelingt wiederum in geschlossener Form. Merkwürdig sind insbesondere jene Fälle, in denen eine Diskriminantengerade selbst Hauptstrahl, also singuläre Integralkurve ist und von den regulären Integralkurven berührt wird. Auch kann es vorkommen, daß sich die regulären Integralkurven dem Punkt \(P\) unbeschränkt nähern, ohne dort mit einer bestimmten Tangentenrichtung einzutreffen. Insgesamt werden im Fall \(R = 0\) achtzehn Typen von Integralkurvenbildern aufgezählt, durch Beispiele belegt und durch Abbildungen illustriert. Die Ergebnisse von \textit{J. Weigel} (1911; F. d. M. 43, 402 (JFM 43.0402.*)) werden dabei etwas einfacher und allgemeiner wiedergefunden. Den Abschluß der Arbeit bilden Anwendungen: Die Flächen, bei denen die Projektionen der Haupttangentenkurven auf die \((x,y)\)-Ebene einer Differentialgleichung der Form (1) genügen, sind im Fall \(W(k) \equiv 0\) die geradlinigen Flächen zweiter Ordnung und im Fall \(W(k)\neq 0\) die Flächen dritter Ordnung mit uniplanarem Doppelpunkt im Unendlichen. Besitzt \(W(k)\) nur einfache Nullstellen, so ist durch die Gleichung (1) näherungsweise der Verlauf der Haupttangentenkurven in der Umgebung eines \textit{Eckardt}schen Punktes gegeben, projiziert auf die Tangentialebene in ihm. Schließlich werden die fünf möglichen Typen des Verlaufes der Krümmungslinien in der Nachbarschaft eines gemeinen Kreispunktes erster Ordnung aus der allgemeinen Untersuchung durch Spezialisierung gewonnen.