Sur les équations équivalents aux équations différentielles linéaires du 3 ordre. (Q1827910)

\(\omega\) sei eine analytische Funktion der Variabeln \(x\), \(y\), \(z\), \(u\) \(\left(z = \dfrac{dy}{dx}, \;u =\dfrac{dz}{dx}\right)\), und es bestehe die gewöhnliche Differentialgleichung dritter Ordnung: \[ \frac{d^3y}{dx^3}=\omega(x,y,z,u). \tag \(^*\) \] Unter welchen Umständen läßt sich die Gleichung \((^*)\) vermöge einer Transformation \[ x' = X(x,y), \quad y'=Y(x,y), \quad \frac{\partial(X,Y)} {\partial(x,y)}\neq 0 \tag \(^{**}\) \] in die Form \[ \frac{d^2 y}{dx^3}=\lambda u + \mu z+ \nu y +\varrho \tag \(^{***}\) \] bringen, deren Koeffizienten als Funktionen von \(x\) allein gedacht sind? Eine nähere Untersuchung dieser Fragestellung führt auf die Dikussion eines partiellen Systems der Form \[ F_i\left(z,u, \frac{\partial \omega}{\partial x}, \frac{\partial \omega}{\partial y}, \cdots, \frac{\partial^n \omega}{\partial x^n}, \cdots\right) =0 \quad (i=1,2, \ldots ), \tag{S} \] sowie auf die Bestimmung der Differentialinvarianten von Differentialgleichungen dritter Ordnung gegenüber (analytischen) Punkttransformationen (vgl. \textit{F. Leja}, Monatshefte f. Math. 29 (1918), 203-254; F. d.M. 46, 675-676). Verf. erhält das Ergebnis: Die Gleichung \((^*)\) kann vermöge \((^{**})\) dann und nur dann ih die Form \((^{***})\) gebracht werden, wenn \(\omega\) einem gewissen (genau angegebenen) System von sieben partiellen Differentialgleichungen genügt, deren eine von der Ordung zwei, zwei von der Ordnung drei, drei von der Ordnung vier und eine von der Ordnung sechs sind.