Sur l'équation \(\varDelta_3^p U = 0\). (Q1827967)

Die Lösungen der Differentialgleichung \[ \varDelta_3 u \equiv \dfrac{\partial^3 U}{\partial x^3} + \dfrac{\partial^3 U}{\partial y^3} + \dfrac{\partial^3 U}{\partial z^3} -3 \dfrac{\partial^3 U}{\partial x\partial y\partial z} = 0 \] hängen mit den hypergeometrischen Funktionen dritter Ordnung von \textit{Clausen} zusammen (vgl. Verf., 1929; JFM 55.0280.*). Das Gleiche weist Verf. für die Differentialgleichung \[ \varDelta_3^p U \equiv \varDelta_3(\varDelta_3^{p-1} U) = 0 \] nach, von der \[ V = (x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz)^{p-1} \cdot \log (x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz) \] eine Lösung ist; ersetzt man in ihr \(x\) durch \(x - \alpha\), so sind die Entwicklungskoeffizienten der Potenzen von \(\alpha\), \(U_n(x, y, z)\), auch Lösungen. Sie reduzieren sich auf der Kurve \[ x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz = 1,\;\;x^2 - yz = 0 \] auf Polynome \(P_n^p(x)\), deren Zusammenhang mit den \textit{Clausen}schen Funktionen aus der Entwicklung unmittelbar folgt.