Sufficient conditions in the problem of Lagrange with variable end conditions. (Q1827980)

Es handelt sich um das Minimum des Ausdrucks \[ J = \int\limits_{x^1}^{x^2} f(x,y_i(x), y_i'(x)) dx + G(x^s, y_i^s) \qquad (i=1,\ldots,n; \;\;s=1,2) \] unter den Nebenbedingungen \[ \varphi_\beta(x, y_i, y_i') = 0 \qquad (\beta = 1,\ldots,m<n) \] und mit den Randbedingungen \[ x^s = x^s(\alpha_1,\ldots,\alpha_r), \quad y_i^s = y_i^s(\alpha_1,\ldots,\alpha_r) \qquad (0 < r \leqq 2n + 2). \] Unter der Voraussetzung der Normalität wird diesem Problem ein von einem Parameter \(\sigma\) abhängiges ``akzessorisches Randwertproblem'' zugeordnet, entspringend aus der Aufgabe, den Ausdruck \[ I(\eta, u, \sigma) = b_{hk}u_h u_k + \int\limits_{a^1}^{a_2}\big[ \omega(\eta_i(x), \eta_i'(x)) \sigma\eta_i\eta_j\big] dx \] (summieren!) zum Minimum zu machen. Hierin ist der Teil \(I(\eta, u, 0)\) die zweite Variation von \(J\); die Randwerte \(\eta_i^s\) der Variationen \(\eta_i\) von \(y_i\) hängen linear von den Variationen \(u_h\) der \(\alpha_h\) ab. Falls die ``non-tangency''-Bedingung erfüllt ist -- eine Verallgemeinerung der Forderung bei einfacheren Problemen, daß die Extremale die Randmannigfaltigkeiten nicht berührt --, kann man auch umgekehrt die \(u_h\) durch \(r\) von den \(\eta_i^s\) ausdrücken. Es wird bewiesen: Hinreichend dafür, daß ein identisch normaler (d. h. normal bezüglich der \textit{Euler}-Bedingung in jedem Teilintervall; über Normalität vgl. \textit{Morse} und \textit{Myers}, 1931; JFM 57.0596.*) Extremalenbogen, der die Transversalitätsbedingung erfüllt, ein eigentliches, starkes relatives Minimum liefert, ist, daß die Bedingungen von \textit{Weierstraß} und \textit{Clebsch} im strengen Sinn erfüllt sind und daß alle Eigenwerte des akzessorischen Randwertproblems positiv sind. Des Verf. Beweismethode (zuerst in Transactions A. M. S. 31 (1929), 379-404; JFM 55.0906.*) besteht darin, gebrochene Extremalen des akzessorischen Variationsproblems zu betrachten, die für eine Anzahl fester \(x\)-Werte Ecken besitzen. Hierdurch geht \(I(\eta, u, \sigma)\) in eine quadratische Form in einer endlichen Anzahl von Unbestimmten über, die in dem betrachteten Fall für \(\sigma\leqq0\) positiv definit ist. Ist \(\sigma\) ein Eigenwert, so ist die Form singulär; der Rang ihrer Matrix in diesem Falle und ihre ``type number'' (Anzahl der negativen Quadrate, wenn man auf eine Quadratsumme transformiert) im nichtsingulären Fall wird zu den Eigenschaften und der Verteilung der zum Anfangspunkt konjugierten Punkte auf einem Extremalenbogen in Beziehung gebracht, und auf diesem Wege werden Verallgemeinerungen der \textit{Sturm-Liouville}schen Separations- und Oszillationssätze bewiesen.