Eine Verallgemeinerung des Laplace-Liapounoffschen Satzes. (Q1827988)

Es seien \(x_1, x_2,\ldots,x_n,\ldots\) voneinander unabhängige zufällige Größen mit den Erwartungswerten \[ \mathfrak G(x_n) = 0, \;\mathfrak G(x^2_n) = 2b_n. \] Ferner wird gesetzt \[ x_1+x_2+\cdots+x_n = s_n, \;b_1+b_2+\cdots+b_n=t_n. \] \(a(t)\) und \(b(t)\) seien zwei stetig differentiierbare Funktionen, für die \[ a(t) < b(t), \;a(0)<0<b(0) \] gilt. Alle endlichen Folgen \(s_1,s_2,\ldots,s_n\) können in drei Klassen \(K, K_1, K_2\) eingeteilt werden: \(K\) umfaßt alle die Folgen, für die \[ a(t_k)<s_k<b(t_k),\quad k=1,2,\ldots,n \] gilt, \(K_1\) alle die Folgen, für die ein solches \(k\) existiert, daß \[ a (t_i) < s_i < b(t_i),\quad i=1,2,\ldots,k-1, \quad s_k \leqq a(t_k) \] gilt, schließlich \(K_2\) alle die Folgen, für die ein solches \(k\) existiert, daß \[ a (t_i) < s_i < b(t_i),\quad i=1,2,\ldots,k-1, \quad b(t_k) \leqq s_k \] gilt. Für die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten \(P_n\) bzw. \(P_n^{(1)}\) bzw. \(P_n^{(2)}\) sowie für die Wahrscheinlichkeit \(P_n(x, y)\) dafür, daß \[ a (t_k) < s_k < b(t_k),\quad k=1,2,\ldots,n-1, \quad x < s_n < y \] gilt, werden unter gewissen Voraussetzungen hinsichtlich der \(\mathfrak G(|x_n|^3)\) asymptotische Ausdrücke für \(n\to\infty\) angegeben. Diese enthalten die \textit{Green}sche Funktion der Wärmeleitungsgleichung für das Gebiet \(\{0 < t\); \(a(t) < s < b(t)\}\) der \((s, t)\)-Ebene. Analoge Formeln können für den Fall einseitiger Ungleichungen, z. B. von der Form \(a(t_k) < s_k\), aufgestellt werden.