Das verschärfte Gesetz der großen Zahlen. (Q1827994)

In seinen Erörterungen bedient sich Verf. des in der vorstehend besprochenen Arbeit eingeführten Schemas und außerdem der einfachsten Begriffe der Mengenlehre. Er führt den Beweis eines gewissen Satzes aus der Theorie der orthogonalen Funktionen durch, welcher dem folgenden Satze des verschärften Gesetzes der großen Zahlen entspricht: Es sei \(x_1,x_2,\ldots,x_n\) eine Folge von zufälligen Veränderlichen mit \[ \varepsilon(x_i x_j) = \varepsilon(x_i)\varepsilon(x_j) \qquad (i, j = 1, 2,\ldots; i \neq j), \tag{1} \] \[ c_n^2 = \varepsilon [x_n - \varepsilon(x_n)]^2 \leqq 1 \qquad (n = 1,2,\ldots) \tag{2} \] (\(\varepsilon(z)\) sei die mathematische Erwartung der Veränderlichen \(z\)). Dann strebt die Wahrscheinlichkeit des gleichzeitigen Bestehens der Ungleichheiten \[ \biggl| \dfrac{\sum\limits_{i=1}^{n+k}[x_i-\varepsilon(x_i)]} {(n+k)^{\frac34+\alpha}} \biggr| < \eta \qquad (k = 0,1,\ldots; \alpha>0) \] gegen 1, wenn \(n\to\infty\) (bei beliebig vorgegebem \(\eta > 0\)). Für \(\alpha = \frac14\) ist die angeführte Behauptung eine Folgerung des Satzes von \textit{Kolmogoroff}, welcher an Stelle der Voraussetzung \(| c_n | \leqq 1\) allgemeiner annimmt, daß die Reihe \(\sum\limits_{n=1}^\infty \dfrac{c_n^2}{n^2}\) konvergiert. Im Falle \(0<\alpha<\frac14\) führt sie zu neuen Ergebnissen.