Systems of polynomials connected whith the Charlier expansions and the Pearson differential and difference equations. (Q1828008)

Verf. geht von der sogenannten \textit{Charlier}schen \(A\)-Reihe \[ F(x)= \sum_{i=0}^\infty A_if^{(i)}(x)\quad \text{bzw.} \quad F(x)=\sum_{i=0}^\infty A_i(\varphi(x)\psi_i(x))^{(i)} \] aus. Die von \textit{Charlier} angegebene Berechnung der Konstanten \(A_i\) schreibt er durch Einführung eines Polynomsystems \(P_0(x), P_1(x),\ldots,\) das den Bedingungen \[ \int\limits_{-\infty}^{+\infty} P_n(x) f^{(m)}(x) dx = \begin{cases} 0\quad (m\neq n) \\ 1\quad (m=n) \end{cases} \] genügt, in einfacherer und eleganterer Form auf. Einige Eigenschaften der Polynome \(P_m(x)\) werden abgeleitet. Weiterhin betrachtet Verf. die \textit{Pearson}sche Differentialgleichung \[ y' = \dfrac{a_0+a_1x}{b_0+b_1x+b_2x^2} y \equiv \dfrac{a_0+a_1x}{D} y. \tag{*} \] Er untersucht die Polynome \(y^{-1} D^{n-k} (D^ky)^{(n)}\) (wobei \(y\) eine Lösung von (*) ist) und stellt Rekursionsformeln sowie Differentialgleichungen für sie auf. Spezialfälle sind die \textit{Jacobi}schen und die andern klassischen Orthogonalpolynome. Entsprechendes wird dann für die \textit{Charlier}sche \(B\)-Reihe und für die Differenzengleichung \[ \varDelta y_x = \dfrac{a_0+a_1x}{b_0+b_1x+b_2x^2} y_x \] durchgerechnet. Die große Länge der Arbeit rührt daher, daß Verf. seine Rechnungen reichlich ausführlich darstellt und durch Mitführen vermeidbarer Parameter unübersichtlich macht.