On periodicity in series of related terms. (Q1828058)

In regelmäßigen Zeitabständen vorgenommene Beobachtungen \(u_x\) zeigen oft eine gewisse Beharrungstendenz. Es liegt darum nahe, sie als lineare Funktion der \(s\) vorangegangenen Beobachtungen anzusehen. Außerdem muß noch eine momentane, rein zufällige Störung \(v_x\) berücksichtigt werden. Es ergibt sich also der Ansatz: \[ u_x = g_i u_{x-1} + g_2 u_{x-2} + \cdots + g_s u_{x-s} + v_x. \] Von ihm geht Verf. aus. Er multipliziert die Gleichung mit \(u_{x-s-1}\) und summiert über \(x\) von \((s + 2)\) bis \(n\). Unter Vernachlässigung der Wirkungen, die von der Endlichkeit von \(n\) ausgehen, findet sich: \[ r_{s+1} = g_1r_s + g_2r_{s-1} + \cdots + g_sr_1, \] da \(v_x\) mit \(u_{x-s-1}\) nicht korreliert sein dürfte. Die Verschiebungs-Korrelationskoeffizienten \(r_x\) genügen also der gleichen Rekursionsformel wie die \(u_x\) bei störungsfreiem Ablauf. Die Reihe der \(r_x\) ist aber in der Praxis ausgeglichener als die der \(u_x\), weshalb Verf. ihr bei der Aufsuchung von Periodizitäten den Vorzug gibt. Außer der einfachen Gleichung leitet Verf. noch andere Zusammenhänge zwischen den Größen \(r_x\) und der \textit{Fourier}entwicklung ab. Die Gesamtheit der Formeln verwendet er bei der Untersuchung einer Reihe von 177 Vierteljahrswerten des Luftdrucks in Port Darwin (Austral. Nordterritorium), wobei sich Perioden von \(34\frac12\) Monaten und \(11\frac12\) Jahren ergeben, die sich wie \(1:4\) verhalten.