New foundation of Euclidean geometry. (Q1828156)

Die Arbeit soll als eine Ergänzung und Verallgemeinerung der Arbeit des Verf. aus Math. Ann. 100 (1928), 75-163 (F. d. M. 54, 622 (JFM 54.0622.*)) betrachtet werden. Sie ist den halbmetrischen Räumen \(\bigl(\)\(\varrho \,(p,q)=\varrho\, (q,p)\), \(\varrho\, (p,q)\geqq 0\), \(\varrho\, (p,q)=0\) nur für \(p=q\)\(\bigr)\) gewidmet, in welchen die allgemeinen Kongruenzaxiome festgesetzt sind. Es wird erstens bewiesen, daß ein solcher Raum mit einem Teil des \(n\)-dimensionalen euklidischen Raumes \(R_n\) kongruent ist, falls jedes System von \(n + 3\) Punkten des ersten mit entsprechenden \(n+3\) Punkten des \(R_n\) kongruent ist. Zweitens, daß derselbe Schluß besteht, falls der Raum mehr als \(n + 3\) Punkte enthält, von welchen je \(n + 2\) mit entsprechenden \(n + 2\) des \(R_n\) kongruent sind. Der Hauptsatz der Arbeit lautet folgendermaßen: Die notwendige und hinreichende Bedingung dafür, daß ein halbmetrischer Raum \(S\) (der mehr als \(n + 3\) Punkte enthält), mit einem Teil von \(R_n\) kongruent sei, ist: 1) für je \(k\) Punkte \(p_1\),\dots, \(p_k\) von \(S\)\ \ \((k\leqq n+1)\) muß \[ \text{sgn}\,D(p_1,\dots, p_k)=(-1)^k\;\text{oder}\;0 \] sein, 2) für je \(n+2\) Punkte \(p_1\),\dots, \(p_{n+2}\) von \(S\) muß \[ D(p_1,\dots,p_{n+2})=0 \] sein. Im Falle, daß \(S\) genau \(n + 3\) Punkte enthält, tritt außer 1) und 2) noch eine dritte Bedingung hinzu: 3) \(D(p_1,\dots, p_{n+3})=0\).\newline \(D(p_1,\dots, p_k)\) bezeichnet die Determinante \((k + 1)\)-ten Grades: \[ \begin{vmatrix} 0, & 1\\ 1, & \varrho (p_i, p_j)\,\end{vmatrix}\qquad (i, j=1,\dots,k). \]