The densities of the regular polytopes. (Q1828164)

Ein reguläres Polytop im \(m\)-dimensionalen Raum ist bestimmt durch seine \((m-1)\)-dimensionale Randfigur und seine Scheitelfigur, die durch einen hinreichend nahe am Scheitel gelegenen Schnitt mit einer \((m-1)\)-dimensionalen Hyperebene geliefert wird. Daher kann das reguläre Polytop durch das \textit{Schäfli}symbol \[ \displaylines{\rlap{\qquad\!(*)} \hfill \{k_1,k_2,\dots ,k_{m-2},k_{m-1}\} \hfill} \] dargestellt werden, wenn Rand- und Scheitelfigur die Symbole \[ \{k_1,k_2,\dots ,k_{m-2}\}\qquad\text{bzw.}\qquad \{k_2,\dots,k_{m-2},k_{m-1}\} \] besitzen. Das einfache Symbol \(\{k\}\) stellt für ganzes \(k\) ein \(k\)-seitiges Polygon, für \(k=\dfrac{n}{d}\) mit \((n, d)=1\) ein \(d\)-fach um das Innere laufendes \(n\)-seitiges Polygon dar. Diese Zahl \(d\) heißt die Dichte des Polygons. Entsprechend wird die Dichte von mehrdimensionalen Polytopen definiert als die Zahl, die angibt, wie oft der Rand das Innere des Polytops umschlingt. Zunächst wird gezeigt, daß alle regulären Polytopen entsprechenden Symbole (*) durch rationalzahlige Lösungen gewisser trigonometrischer Gleichungen erhalten werden. Daraus folgt eine vollständige Liste aller möglichen regulären Polytope für alle Dimensionen mit Einschluß der entarteten Polytope. Im Anschluß hieran wird die Berechnung der Dichte für alle regulären Polytope durchgeführt.