On symmetric products of topological spaces. (Q1828179)

Unter dem \(n\)-ten symmetrischen Produkt \(E(n)\) eines topologischen Raumes \(E\) wird die in naheliegender Weise topologisierte Menge aller Systeme \{\(x_1\), \(x_2\), \dots, \(x_n\)\} verstanden, wobei die \(x_i\) die Punkte von \(E\) durchlaufen und es -- im Gegensatz zu der gewöhnlichen, ``Cartesischen'' Produktbildung -- weder auf die Reihenfolge noch auf die Vielfachheit der \(x_i\) ankommt; Beispiel: Ist \(E\) die Kreislinie, so ist \(E(2)\) ein \textit{Möbius}sches Band. Es werden die Räume \(I(n)\) untersucht, wobei \(I\) das Intervall \(0\leqq x\leqq 1\) ist. \(I(n)\) ist eine \(n\)-dimensionale, lokal zusammenhängende \textit{Cantor}sche Mannigfaltigkeit. Die Frage, ob \(I(n)\) einer Teilmenge des euklidischen \(R^n\) homöomorph ist, hat eine gewisse Bedeutung in der Theorie der reellen stetigen Funktionen; sie wird für \(n\leqq 3\) bejaht, für \(n\geqq 4\) verneint.