Die Homoiomorphie der kompakten konvexen Mengen im Hilbertschen Raum. (Q1828185)

Die Definition des \(n\)-dimensionalen Elements als kompakter konvexer Menge des \(R^n\), die ein Gebiet enthält, läßt sich nicht auf den \textit{Hilbert}schen Raum übertragen: Kompaktheit und die Eigenschaft, ein Gebiet zu enthalten, schließen einander aus. Fordert man Kompaktheit (wodurch z. B. Simplex und Fundamentalquader als Elemente erfaßt werden), so entsteht die Aufgabe, die Homöomorphie der Elemente, also der kompakten konvexen Teilmengen unendlicher Dimension des \textit{Hilbert}schen Raumes zu beweisen. Das geschieht auf folgendem Wege: In konvexen Mengen kann man zwischen Schalenpunkten und Kernpunkten unterscheiden, je nach dem eine Stützebene durch den betreffenden Punkt existiert oder nicht. Durch Transformation des Hilbertschen Raumes läßt sich für eine konvexe Menge \(M\) die Eigenschaft der ``elliptischen Konvexheit'' erzwingen: Sind \(p_1\), \(p_2\) zwei Punkte von \(M\), so sind alle inneren Punkte der Strecke \(p_1p_2\) Kernpunkte von \(M\). Für elliptisch konvexe Mengen läßt sich die Homöomorphie herstellen durch schrittweise Zuordnung der Projektionen auf die Koordinaten-\(R^n\) (\(n=1\), 2,\dots ); das gelingt deshalb, weil bei gegebener Projektion auf den Koordinaten-\(R^n\) nur je ein Punkt mit größter bzw. kleinster \((n + 1)\)-ter Koordinate auftritt. Die Kern- und Schalenpunkte haben keine topologisch invariante Bedeutung. Man kann vielmehr durch Homöomorphie einen Punkt eines Elements in jeden beliebigen anderen Punkt überführen. Es gibt also hier kein Analogon zu Randpunkten und inneren Punkten des endlich-dimensionalen Falles.