L'équation de Fredholm dans l'étude des vibrations amorties. (Q1828324)

Sei in einem elastischen Körper \(y_{P}\) die Deformation im Punkte \(P\) unter Einwirkung von Kräften \(f_Qm_Q\) in den Punkten mit der Masse \(m_Q\), \(\alpha _{PQ}\) der Einflußkoeffizient bei gegebenen Randbedingungen. Seien die \[ f_Q=-\frac{d^2y_Q}{dt^2}-2b_Q\frac{dy_Q}{dt}, \] also Trägheitskräfte und Einflüsse der Zähigkeit. Der Ansatz \[ y_P=Y_Pe^{\varrho t} \] führt auf die \textit{Fredholm}sche Integralgleichung \[ Y_P=\textstyle\int\displaystyle \alpha _{PQ}(-m_Q\varrho ^2-2b_Qm_Q\varrho )\,Y_Q\,dQ. \] Die \textit{Fredholm}sche Theorie läßt sich hier übertragen, auch zum Studium erzwungener Schwingungen. Im Falle eines konstanten Dämpfungskoeffizienten \(b\) lassen sich die Rechnungen einfach durchführen.