Zum Paulischen Ausschließungsprinzip. (Q1828438)

Auf Grund des \textit{Pauli}-Prinzips besteht eine weitgehende Ähnlichkeit zwischen den Termen eines Atoms mit \(n\) Elektronen und denen eines Atoms mit \(n\) Löchern in einer Schale. Voraussetzung ist dabei die Existenz einer Schale, d. h. einer Termgruppe, die von allen anderen Termen durch einen auch gegen die Wechselwirkungsenergie hinreichend großen Abstand getrennt ist. Verf. zeigt nun, daß sich die von \textit{Pauli} (Z. f. Physik 31 (1925), 373-385; F.~d.~M. 51, 742) hinsichtlich der Term\textit{anzahlen} festgestellte Übereinstimmung der beiden oben genannten Probleme in erster Näherung auch auf die \textit{energetische Lage} der Terme erstreckt, nämlich insofern, als man die von den Übergangsmöglichkeiten zu angeregten Zuständen herrührenden Störungen vernachlässigen kann. Zu diesem Zweck ersetzt Verf. die \textit{Schrödinger}gleichung für \(n\) Elektronen durch eine analog gebaute, äquivalente Gleichung für \(N-n\) Löcher (\(N\) die Anzahl der Plätze in der Schale). Das wird auf folgendem Wege erreicht: Es sei \[ \left\{ \sum_{l=1}^{n} \left( -\frac{h^2}{8 \pi^2 \mu} \varDelta^l - e V^l + H^l \right) + \sum_{l>m}^{n} H^{lm} - E \right\} \psi = 0, \tag{1} \] \(\psi=\psi(\mathfrak{r}_1, \ldots \!,\mathfrak{r}_l)\), die \textit{Schrödinger}gleichung des Atoms in der üblichen Bezeichnungsweise (die \(H^l\) entsprechen von außen her auf die einzelnen Elektronen einwirkenden Störungen, die \(H^{lm}\) den Wechselwirkungen). Verf. führt nun nach dem Vorgang von \textit{Jordan, Klein} und \textit{Wigner} (Z. f. Physik 45 (1927), 751-765; 47 (1928), 631-651; F.~d.~M. 53, 857; 54, 983) statt der Koordinaten der Elektronen die Anzahlen \(N_k\) (= 0 oder 1) der Elektronen in den stationären Zuständen als Variable ein. Setzt man \(N_i=a_i^* a_i\), wo die \(a_i\) die Amplituden der dreidimensionalen Wellenfunktion sind (vgl. \textit{Jordan, Klein, Wigner}, l. c.), so genügen die \(a_i\) bei \textit{Fermi}statistik den Vertauschungsregeln \[ a_i^* a_k + a_k a_i^* = \delta_{ik}, \quad a_i a_k + a_k a_i = 0, \quad a_i^* a_k^* + a_k^* a_i^* = 0. \] Verf. befriedigt sie durch den Ansatz \[ a_i^* = N_i \varDelta_i \nu_i, \quad a_i = \nu_i \varDelta_i N_i, \] wo \(\varDelta_i\) den Operator \(N_i \to 1 - N_i\) und \(\nu_i\) eine der Gleichung \[ \nu_i = \prod_{k \leqq i} (1-2N_k) \] genügende Vorzeichenfunktion ist. Als Äquivalent der \textit{Schrödinger}gleichung ergibt sich \[ E = \sum_{i,k} a_i^* a_k (\delta_{ik}E_i+H_{ik}) + \tfrac{1}{2} \sum_{i,k,r,s} a_i^* a_k^* a_r a_s H_{ik,rs}. \tag{2} \] Die \(H_{ik}\) und \(H_{ik,rs}\) drücken sich dabei durch die \(H^l\) bzw. \(H^{lm}\) und die Eigenfunktionen des ungestörten Problems aus. Summiert man in der vorstehenden Gleichung nicht über alle Zustände, sondern nur über die Zustände \(1,\ldots \!, N\) der der Schale entsprechenden Termgruppe, so erhält man das zu dieser Termgruppe gehörende Säkularproblem. Dieses wird nun durch die Transformation \[ \begin{aligned} & N_i'=1-N_i, \quad \varDelta_i'=\varDelta_i, \quad \nu_i'=(-1)^i \nu_i; \\ & a_i^{* \prime} = N_i' \varDelta_i' \nu_i'(-1)^{i+1}, \quad a_i' = \nu_i' \varDelta_i' N_i'(-1)^{i+1} \end{aligned} \] in ein entsprechendes und ganz analog gebautes Problem (2\('\)) für die Amplituden \(a_i'\) der Löcher verwandelt. (Die \(a_i'\) unterliegen denselben Vertauschungsregeln wie die \(a_i\)). Der wesentliche Unterschied zwischen (2\('\)) und (2) ist der, daß sich jetzt die Koeffizienten der \(a_i^{\prime *}a_k^{'}\) linear aus den entsprechenden Koeffizienten der \(a_i^*a_k\) und den \(H_{ik,rs}\) aufbauen. Die Störung des einzelnen Loches (ohne Wechselwirkung) ist also nicht von derselben Form wie die Störung des einzelnen Elektrons; sie wird von der Wechselwirkung der Elektronen beeinflußt. Dagegen hat die Wechselwirkung der Löcher z. B. \textit{Coulomb}sche Form, wenn das für Wechselwirkung der Elektronen der Fall ist. Von (2\('\)) kann man nun rückwärts zu der gewünschten \textit{Schrödinger}gleichung (1\('\)), bezogen auf Löcher\textit{koordinaten}, übergehen. Als Anwendung der Methode folgt eine eingehende Diskussion der tiefsten Terme der Atomspektren und des \textit{Hall}effektes.