Über Grenzzahlen und Mengenbereiche. Neue Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre. (Q1829211)

Während die zuletzt unternommenen Axiomatisierungen der Mengenlehre auf einen kategorisch bestimmten Bereich von Mengen hinzielten und schon aus diesem Grunde von der Nullmenge ausgingen, sind hier die Modelle des Verf. ihrer Struktur nach durch zwei Parameter bestimmt: die (endliche oder unendliche) Zahl der ``Urelemente'', die selbst nicht wieder als Mengen auftreten -- wobei gleichgültig, ob die Nullmenge mit zugelassen -- und eine Ordinalzahl, Charakteristik genannt: die Anzahl der Stufen (Schichten) in der fortgesetzten Mengenbildung. Zu den üblichen Axiomen (ohne Definitheitsbeschränkung des Aussonderungsaxioms) tritt hier zur Ausschließung der ``abgründigen'' Mengen \(m \ni m_1 \ni m_2 \ni \dots\), insbesondere der zirkelhaften, ein Fundierungsaxiom: Jeder Teilbereich \(T\) des Mengenbereichs enthält wenigstens ein Element \(t_0\), das kein Element \(t\) in \(T\) besitzt. -- Von der Basis \(Q_0\) der Urelemente angefangen läßt sich nun der Mengenbereich in Schichten \(Q_\alpha\) zerlegen, wo \(Q_\alpha\) aus den \textit{Mengen} besteht, deren \textit{Elemente} schon in früheren Schichten liegen, ohne daß dies für die Mengen selbst zutrifft (\(\alpha\) endlich oder transfinit). Die Schichten werden zu Abschnitten \[ P_\alpha = \sum_{\beta < \alpha} \, Q_\beta \] vereinigt. Nicht jeder Abschnitt liefert schon einen Mengenbereich: Es führt zwar nicht das Aussonderungs- und Vereinigungsaxiom, wohl aber das Potenzmengen- und Ersetzungsaxiom aus dem Abschnitt heraus. Damit \(P_\alpha\) Mengenbereich ist, muß \(\alpha\) Kernzahl (reguläre Anfangszahl) sein und Fixzahl der Normalfunktion \(\psi(\varrho)\), die für Argumente erster Art so definiert ist: \(\psi(\alpha +1)\) ist die Anfangszahl der Zahlklasse von der Mächtigkeit der Potenzmenge einer Menge der Mächtigkeit \(\overline{\psi(\alpha)}\). So bilden die aus einer Basis gebildeten \textit{endlichen} Mengen den einfachsten solchen Bereich. Das frühere Unendlichkeitsaxiom fällt in dieser Fassung naturgemäß fort. Hervorzuheben sind noch die aus den Urelementen \(u\) gebildeten Grundfolgen \[ g_\alpha(u) = \underset{\beta < \alpha}{\{g_\beta}(u)\} \] in den einzelnen Schichten \(Q_\alpha\) mit dem Anfang \(g_0(u) = u\). (I 2.)