Sur les opérations de M. Hausdorff. (Q1829223)

Sei \(N\) eine Menge von (endlichen oder unendlichen) Folgen natürlicher Zahlen, und sei \(F\) ein System von Teilmengen einer (abstrakten) Menge \(A\). Im Anschluß an \textit{Hausdorff} betrachtet Verf. das System \(H_N(F)\) aller Mengen, die eine Darstellung zulassen von der Form: \[ \sum_N \, E_{n_1} \cdot E_{n_2} \cdot E_{n_3} \cdot \dots, \] wo die \(E_n\) Mengen des Systems \(F\) sind und die Summation \(\sum\) über alle der Menge \(N\) angehörenden Folgen \((n_1, n_2, n_3, \dots)\) zu erstrecken ist. (Ist \(F\) das System aller abgeschlossenen Mengen eines topologischen Raumes, so erhält man nach \textit{Hausdorff} bei geeigneter Wahl der Menge \(N\) für \(H_N(F)\) das System aller \textit{analytischen Mengen}. Über diese ``\textit{Hausdorffschen Operationen}'' \(H_N\) beweist Verf. in Beantwortung von \textit{Tarski} gestellter Fragen die folgenden Sätze: (1) Bei gegebenem System \(F\) gibt es unter den Operationen \(H_N\) (die verschiedenen Folgenmengen \(N\) entsprechen) keine umfassendste, d. h. keine Operation \(H_N\), so daß für jede andere Operation \(H_M\) \[ H_N(F) \supset H_M(F) \] gilt. (2) Zu je zwei Operationen \(H_N\) und \(H_M\) gibt es immer eine Operation \(H_P\), so daß bei beliebigem \(F\) \[ H_P(F) = H_M(H_N(F)) \] gilt. (3) Zu jeder Folge von Operationen \(H_{N_1}\), \(H_{N_2}\), \(H_{N_3}\), \dots gibt es eine Operation \(H_N\), für die bei jedem \(F\) \[ H_N(F)\supset H_{N_i}(F) \qquad (i = 1, 2, \dots) \] gilt; dagegen gibt es (sogar bei festem \(F\)) zu zwei gegebenen Operationen \(H_M\) und \(H_N\) im allgemeinen keine Operation mit der Eigenschaft: \[ H_P(F) = H_N(F) + H_M(F). \] (4) Bezeichnet man mit \(K_N(F)\) das System aller Mengen \[ \varPi (E_{n_1} + E_{n_2} + E_{n_3} + \cdots), \] wo die \(E_n\) Mengen des Systems \(F\) sind und die Produktbildung \(\varPi\) über alle der Menge \(N\) angehörenden Folgen zu erstrecken ist, so gibt es zu jeder auf diese Weise definierten Operation \(K_N\) eine Operation \(H_M\) derart, daß für jedes Mengensystem \(F\) \[ K_N(F) = H_M(F) \] gilt. Eme Folgerung daraus: Im topologischen Raum kann das System aller \textit{Komplemente der analytischen Mengen} (ähnlich wie das System aller analytischen Mengen selbst) durch Anwendung einer \textit{Hausdorff}schen Operation auf das System \(F\) aller abgeschlossenen Mengen erzeugt werden.