Sur les \(\delta s\)-fonctions de M. Hausdorff. (Q1829225)

Unter einer \(\delta s\)-Funktion \(\varPhi (E_1, E_2, E_3, \dots)\), wobei \(E_1, E_2, \dots\) Punktmengen (etwa m \(Rn\)) sind, versteht man nach \textit{Hausdorff} die Menge \[ \sum E_{n_1} \cdot E_{n_2} \cdot E_{n_3} \cdot \dots; \] dabei ist die Summation über sämtliche Folgen \(\{n_i\}\) zu erstrecken, die einer vorgeschriebenen Menge \(\mathfrak N\) angehören. Zur Definition der Funktion kann man natürlich statt der Menge der Folgen \(\{n_i\}\) auch die Menge \(N\) aller reellen Zahlen \[ x = \frac{1}{n_1} {{}\atop{ + \frac{1}{n_2}{{}\atop{ +}} {\underset{\ddots}{}}}} \] verwenden. Diese Menge \(N\) wird vom Verf. die \textit{Basis} der Funktion \(\varPhi\) genannt; die Funktion selbst wird ausführlicher mit \(\varPhi_N\) bezeichnet. Läßt man die Mengen \(E_1, E_2, \dots\) ein Mengensystem \(\mathfrak F\) durchlaufen, so bildet die Gesamtheit der Mengen \(\varPhi_N (E_1, E_2, \dots)\) die sogenannte \(\varPhi_N\)-\textit{Klasse über} \(\mathfrak F\) (vgl. auch die beiden vorangehenden Referate). Die Verf. untersuchen die Beziehung zwischen einigen wichtigen \(\varPhi_N\)-Klassen und ihren Basen \(N\). Liegen abzählbar viele \(\delta s\)-Funktionen \(\varPhi_{N_i}\) \( (i = 1, 2, \dots)\) vor, und versteht man unter \(F_i\) eine Menge der \(\varPhi_{N_i}\)-Klasse über \(\mathfrak F\), so bilden alle Summen \(F_1 + F_2 + F_3 + \dots\) eine neue Klasse über \(\mathfrak F\); dasselbe gilt für die Gesamtheit aller Produkte \(F_1 \cdot F_2 \cdot F_3 \cdot \dots\) und allgemeiner für die Gesamtheit aller Mengen \(\varPhi_{N_0}(F_1, F_2, F_3, \dots)\), wo \(\varPhi_{N_0}\) eine neue \(\delta s\)-Funktion bedeutet. In allen diesen Fällen wird die Beziehung zwischen der neuen Basis \(N\) und den alten Basen \(N_1, N_2, N_3, \dots\) geklärt. Auf den präzisen (teilweise recht komplizierten) Inhalt dieser Sätze und auf einige weitere Aussagen der Verf. soll hier in Erwartung einer ausführlicheren Darstellung nicht näher eingegangen werden.