Bemerkung zur Theorie des transfiniten Durchmessers einer ebenen Punktmenge. (Q1829242)

Im Anschluß an Untersuchungen von \textit{Fekete} (1923; F. d. M. 49, 47 (JFM 49.0047.*)) und \textit{Szegö} (1924; F. d. M. 50, 44 (JFM 50.0044.*)) sowie an eine eigene Arbeit (L'existence de la fonction de Green pour un domaine plan donné; C. R. 190 (1930), 1372-1374; F. d. M. \(56_{\text{I}}\)) beweist Verf. den folgenden Satz: Der transfinite Durchmesser der ebenen Punktmenge \(E\) ist sicher positiv, wenn das Maß einer gewissen positiven Dimension von \(E\) größer als Null ist. Wenn dagegen das logarithmische Maß von \(E\) verschwindet, so ist auch der transfinite Durchmesser von \(E\) gleich Null. Dabei bedeutet das Maß der Dimension \(\alpha\) bzw. das logarithmische Maß von \(E\) die untere Grenze der Größen \[ \sum \varrho_i^\alpha \quad \text{ bzw. } \quad \sum \frac{1}{|\log\,\varrho_i|}, \] wobei \(\varrho_1, \varrho_2, \dots\) die Radien solcher Kreise bedeuten, welche alle Punkte von \(E\) um schließen. (III 3, IV 4, IV 13.)