Aufgabe 66 (gestellt in Jahresbericht D. M. V. 38 (1929), 72 kursiv). Lösungen von H. Rohrbach, R. Brauer, E. Schönhardt. (Q1829324)

Die Aufgabe lautet: Es sei \(A\) eine symmetrische Matrix von \(n^2\) Elementen \(a_{ik}=a_{ki}\), \(B\) eine Matrix von \(n^2\) Elementen \(b_{ik}\). Aus diesen Matrizes bildet man eine Determinante \(\varDelta\) vom Grade \(2n\), die in leicht verständlicher Schreibweise die Form hat: \[ \left| \,\begin{matrix} \;& \\ A & B \\ B & A \end{matrix} \,\right| \] Alsdann gelten die zu beweisenden Sätze: (1) Ist die Matrix \(B\) ebenfalls symmetrisch, so zerfällt \(A\) in das Produkt zweier Determinanten \(n\)-ten Grades; die Elemente der einen sind Binome \(a_{ik}+b_{ik}\), die der anderen \(a_{ik}-b_{ik}\). (2) Ist die Matrix \(B\) schiefsymmetrisch (\(b_{ik}=- b_{ki}\), \(b_{ii} = 0\)), so wird \(A\) das Quadrat einer Determinante \(n\)-ten Grades mit Elementen \(a_{ik}+b_{ik}\). Wird die eine der beiden Matrizes \(B\) transponiert, so hat man folgende Sätze: (3) Ist \(B\) symmetrisch, so gilt natürlich wieder Satz (1). (4) Im Falle \(b_{ik}= - b_{ki}\), \(b_{ii}=0\) ist \(\varDelta\) das Quadrat einer ganzen rationalen Funktion der Elemente von \(\varDelta\), im allgemeinen aber nicht etwa das Quadrat einer Determinante \(n\)-ten Grades wie bei Satz (2).