Über den transfiniten Durchmesser ebener Punktmengen. II. (Q1829343)

In Verallgemeinerung der vorstehend besprochenen Arbeit [Math. Z. 31, 521--526 (1930; JFM 56.0112.01)] und unter Anwendung der Ergebnisse seiner Arbeit ``Über den transfiniten Durchmesser ebener Punktmengen. I'' [Math. Z. 32, 108--114 (1930; JFM 56.0090.01)] beweist Verf. den folgenden Satz: Sind die Koeffizienten der algebraischen Gleichung \[ p(z) = z^k + a_1 z^{k-1} + \cdots + a_k = 0 \] komplexe Zahlen, und durchläuft \(y\) die Punkte einer beschränkten, abgeschlossenen Punktmenge \(\mathfrak M\) vom transfiniten Durchmesser \(d\), so beschreiben die Wurzeln der Gleichung \(p(z)=y\) eine Punktmenge \(\mathfrak M^*\), deren transfiniter Durchmesser \[ d^* = d^{\frac 1k} \] ist. Hieraus ergibt sich weiter: Sind \(\xi_1,\ldots, \xi_{k-1}\) die Nullstellen der Ableitung \(p'(z)\), und ist \(p(\xi_\nu) = \eta_\nu\), so ist gleichzeitig mit \(\mathfrak M\) dann und nur dann auch \(\mathfrak M^*\) ein Kontinuum, wenn \(\mathfrak M\) alle Punkte \(\eta_\nu\) enthält.